Vektorraum und Polynome

Question

Ich verzweifel gerade an dieser Aufgabe und habe keine Ahnung, wie ich folgendes beweisen/zeigen kann...

Bezeichne V den reellen Vektorraum ℝ[X] mit M⊂ℝ eine Menge mit d Elementen. Seien

U₁ :={f∈ℝ[X] | ∀m∈M : f(m) = 0}

U₂ :={f∈ℝ[X] | deg(f)≤d-1}

zwei Untervektorräume von V und φ = V → Abb(M,ℝ) die durch φ(f)(m) := f(m) gegebene lineare Abbildung

a.) Zeigen Sie, dass φ|U₂ : U₂ →Abb(M,ℝ) ein Vektorraum-Isomorphismus ist

b.) Folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass auch gilt : V/U₁ ≅Abb(M,ℝ)

c.) Folgern Sie, dass U₂ ein Komplement von U₁ ist

Bei a.) hab ich überlegt, dass man ja beweisen könnte, dass es surjektiv und injektiv ist, habe da auch keinen Ansatz...

Answer 1

Genau, bei a) müssen wir beweisen dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.

Eine Abbildung ist injektiv genau dann, wenn der Kern trivial ist.

Um zu zeigen dass die Abbildung surjektiv ist können wir den Rangsatz(Dimensionssatz) anwenden.

b) Der Homomorphiesatz lautet:

Ist f : A → B ein Homomorphismus und ker(f) der Kern von f, dann ist Quotient A/ker(f) isomorph zum Bild f(A).

c)  Wir müssen folgendes zeigen: $$U_1 \cap U_2 =\{0\} \ \ \text{ und } \ \ U_1+U_2=V$$