Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
(i) Sei \( V = \mathbb{C}[T] \) der Vektorraum aller komplexen Polynome \( P(T) = \lambda_{n} T^{n} + \ldots + \lambda_{0} \).
Untervektorraum \(U\)
Wir wollen zeigen, dass die Teilmenge
\( U = \{P \mid P(e^{\pi i} T) = P(T) \text{ und } \operatorname{deg}(P) \leq 3\} \)
ein Untervektorraum ist.
Schritte zum Nachweis eines Untervektorraums:
1.
Nichtleere Menge: Überprüfen, ob \( U \) nicht leer ist.
2.
Abgeschlossenheit unter Addition: Zeigen, dass \( \forall P, Q \in U \implies (P + Q) \in U \).
3.
Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation: Zeigen, dass \( \forall P \in U, \forall \alpha \in \mathbb{C} \implies (\alpha P) \in U \).
1. Nichtleere Menge
Wir nehmen das Nullpolynom \( P(T) = 0 \) aus \( V \). Offensichtlich ist \( P(T) = P(e^{\pi i} T) = 0 \) und der Grad ist \(\leq 3\). Daher ist \( 0 \in U \) und \( U \) ist nicht leer.
2. Abgeschlossenheit unter Addition
Seien \( P, Q \in U \), also \( P(e^{\pi i} T) = P(T) \) und \(\operatorname{deg}(P) \leq 3\). Genauso für \( Q \).
Dann ist:
\( (P + Q)(e^{\pi i} T) = P(e^{\pi i} T) + Q(e^{\pi i} T) = P(T) + Q(T) = (P + Q)(T) \)
und der Grad von \( P + Q \) ist \(\leq 3\), weil der Grad der Summe zweier Polynome der maximalen Grad der Einzelpolynome ist.
Also ist \( P + Q \in U \).
3. Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation
Sei \( \alpha \in \mathbb{C} \) und \( P \in U \). Dann:
\( (\alpha P)(e^{\pi i} T) = \alpha P(e^{\pi i} T) = \alpha P(T) \)
und der Grad von \( \alpha P \) ist \(\leq 3\), weil der Skalar nur die Koeffizienten ändert, nicht aber den Grad des Polynoms.
Somit ist \( \alpha P \in U \).
Daraus schließen wir, dass \( U \) ein Untervektorraum von \( V \) ist.
(ii) Sei \( V = \mathscr{C}(\mathbb{R}) \) der Vektorraum aller stetigen Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \).
Untervektorraum \(U\)
Wir wollen zeigen, dass die Teilmenge
\( U = \{f \mid \exists c \geq 0 \text{ mit } f(x) = 0 \text{ falls }|x| \geq c\} \)
ein Untervektorraum ist.
Schritte zum Nachweis eines Untervektorraums:
1.
Nichtleere Menge: Überprüfen, ob \( U \) nicht leer ist.
2.
Abgeschlossenheit unter Addition: Zeigen, dass \( \forall f, g \in U \implies (f + g) \in U \).
3.
Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation: Zeigen, dass \( \forall f \in U, \forall \alpha \in \mathbb{R} \implies (\alpha f) \in U \).
1. Nichtleere Menge
Die Nullfunktion \( f(x) = 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gehört zu \( U \), da wir \( c = 0 \) wählen können.
2. Abgeschlossenheit unter Addition
Seien \( f, g \in U \). Dann gibt es \( c_f \geq 0 \) und \( c_g \geq 0 \), sodass \( f(x) = 0 \) für \( |x| \geq c_f \) und \( g(x) = 0 \) für \( |x| \geq c_g \).
Setze \( c = \max(c_f, c_g) \). Dann ist \( f(x) = 0 \) und \( g(x) = 0 \) für \( |x| \geq c \), was bedeutet:
\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 0 \)
für \( |x| \geq c \). Also ist \( f + g \in U \).
3. Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation
Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( f \in U \). Da \( f \in U \), gibt es \( c \geq 0 \) mit \( f(x) = 0 \) für \( |x| \geq c \).
Dann ist auch \( (\alpha f)(x) = \alpha f(x) = 0 \) für \( |x| \geq c \). Also ist \( \alpha f \in U \).
Daraus folgt, dass \( U \) ein Untervektorraum von \( V \) ist.
