Grenzwert berechnen von zwei Folgen: Bsp an=( (√(n²+n))-n)

Question

a) a_n= ((2n+1)⁴-(n-1)⁴) / ((2n+1)⁴+(n-1)⁴)
Gibt es hier einen geschickten Trick wie man den Grenzwert berechnet, ohne die ganzen Terme zu multiplizieren?
b) a_n=( (√(n²+n))-n)  
Hier komme ich auf 0, was ja falsch ist. Ich habe zunächst n² in der Wurzel ausgeklammert und dann die Wurzel aus n² gezogen, was ja n ist (=n*√(1+1/n) -1). Dann habe ich das n aus beiden Summanden ausgeklammert (n*(√(1+1/n) -1)). 
Wenn nun n gegen unendlich geht, geht ja √(1+1/n) -1 gegen 0 und damit 0*n=0.
Was ist hier falsch?

Comments

hi, bei b) erweitere mit ( (√(n²+n))+n)/( (√(n²+n))+n) und nutze die 3. bin. Formel, beim Zähler fällt die Wurzel weg...

Answer 1

a) a_n= ((2n+1)⁴-(n-1)⁴) / ((2n+1)⁴+(n-1)⁴)
Gibt es hier einen geschickten Trick wie man den Grenzwert berechnet, ohne die ganzen Terme zu multiplizieren?

Nein, beschränke dich einfach auf das Wesentliche:

$$ \lim_{n\to\infty} { \dfrac { (2n+1)^4-(n-1)^4 }{ (2n+1)^4+(n-1)^4 } } = \lim_{n\to\infty} { \dfrac { (2n)^4-n^4 }{ (2n)^4+n^4 } } = \dots $$

Answer 2

Du musst den Grenzübergang in einem Schritt machen (bin jetzt nicht sicher, ob das genau dein Fehler war)

(=n*√(1+1/n) -1) sollte, wenn schon =n*(√(1+1/n) -1) sein (oder?) 

Meine Rechnung zu b) 

lim ( (√(n²+n))-n) *( (√(n²+n))+n)/( (√(n²+n))+n)

=lim (n^2 + n - n^2)/( (√(n²+n))+n)

=lim ( n)/( (√(n²+n))+n)        | kürzen mit n

= lim 1/(√(1 + 1/n) + 1)    | Grenzübergang

= 1/(√(1+0) + 1)

= 1/(1+1)

= 1/2 

a) Bei den ganzen "alternate forms" https://www.wolframalpha.com/input/?i=((2n%2B1)%5E4-(n-1)%5E4)+%2F+((2n%2B1)%5E4%2B(n-1)%5E4) kann man den Grenzwert beinahe ablesen.

Ausmultiplizieren mit binomischem Lehrsatz ist doch nicht soo wild. Danach einfach die Vorfaktoren der höchsten Potenzen von n betrachten.

Comments

Danke Lu!

(=n*√(1+1/n) -1) sollte, wenn schon =n*(√(1+1/n) -1) sein (oder?) Was würde jetzt hier dagegen sprechen n gegen unendlich laufen zu lassen. Damit würde doch (√(1+1/n) -1) gegen 0 gehen und damit die Folge. Wo ist hier der Fehler?

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Du hast jetzt unendlich*fastnull.

Das ist heikel.

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Stimmt. In der Schule war das immer ein Fall für l´hospital. Aber den haben wir noch nicht eingeführt in der Vorlesung.Also die Lösung habe ich soweit verstanden, aber man muss halt erstmal draufkommen :)