Question

P 29 geometrische und algebraische Vielfachheit und P 30 Charakteristische Polynome

char Pol. ist  det( A - x*E)
matrix mal vektor für eigenvektoren ein vielfaches.

das weiss ich jetzt

komme ich trotzdem nicht weiter

bitte mit rechenweg zusammen.

Vielen Dank

immai

Answer 1

a)Eigenwerte bei A1 über die Diagonale, bei A2 und A3 wie vorhin geklärt über det(A-Eλ).

Eigenräume sind die Räume, die durch die Eigenvektoren aufgespant sind.

Eigenvektoren,sind die Vektoren, die in ker(A-Eλ_i) liegen. ( Dies für alle vorher berechneten EW machen)

Jeder Eigenwert hat eine geometrische und algebraische Vielfachheit.

algebraische Vielfachheit: Wie oft tritt der Eigenwert auf(ist der Eigenwert eine Mehrfache Lösung des char Polynoms. z.B (5-λ)^2 .

geometrische Vielfachheit: Wieviele Eigenvektoren gehören zu diesem Eigenwert.

Comments

kannst du die Rechnungen für p30 bitte schreiben.

das ganze wird kanpp mit der zeit

bis morgen 17 Uhr spätesten 20 uhr muss die lösungen haben..

das mit dem nachhvollziehen würde ich gleich zum anschluss machen.

du hilfst mir grad echt aus der patsche vielen vielen dank dafür.

Ps: ich glaub die a ist jetzt so fertig oder? bei der anderen aufgabe.

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30)

a)

Du hast:

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

und

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

selber nachrechnen, sollte ziemlich schnell gehen.

b)

Betrachte dir am besten Diagonalmatrizen für die die erste Eigenschaft erfüllt ist und such ein Gegenbeispiel

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Die b bitte rechnen.

Die a versuche ich ;)

Werde aber kurz was essen müssen.

Hab seit zuvielen stunden wegen lernen vernachlässigt ;)

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b ist nicht wirklich viel zu rechnen. Lies dir meinen Hinweis für ein Gegenbeispiel durch.

Vorrechnen mache ich eher sehr selten.

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Von was die diagonale

Es fällt echt schwer^^

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Wir benutzen die Eigenschaften:

1.Die Determinante einer Dreiecksmatrix(damit insbosondere einer Diagonalmatrix) ist gleich dem Produkt der Diagonalen.

2.Eigenwerte liegen auf der Diagonalen einer Dreiecksmatrix.

3.Das char. Polynom lässt sich als Produkt der EW darstellen.

Beispiel:
EW sind z.B. 3,5,6 =>

char Polynom= (λ-3)* (λ-5)* (λ-6)

(weil EW ja die Nullstellen des char. Polynoms sind)

Wir basteln uns jetzt zwei Matrizen sodass Det(A) = Det(B) gilt (dafür nehmen wir uns die erste Eigenschaft) , bei denen das char Polynom ungleich ist.(zweite und dritte Eigenschaft)

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alles klar.

bin fertgi mit essen werde weiter machen^^

bis wann bist du heute noch wach?=

kannst du ansonsten bitte noch zudem hier was machen

wäre extrem hilfreich

und vielen Dank für deine ganze HIlFE heute^^

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Komme hier nicht weiter

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Bei c ist sogar ein Gegenbeispiel gegeben.

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Wo kommst du da nicht weiter? Eigenwerte hast du doch berechnet.

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Meinst du das so?

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Du meinst nun für Eigenvektoren?

Da müsstest du so rangehen:

Wir starten einfach mal und suchen Eigenvektoren zum Eigenwert 2

Dann ist

(A- Eλ) =

i 0    -  2 0

1 2  -   0 2

=

i-2 0

1 0

Jetzt wollen wir hier Eigenvektoren bestimmen, brauchen also das was auf 0 abbildet, also

ker(A- Eλ)

Wir haben also das Gleichungssystem:

i-2 0 | 0

1 0  |0

Jetzt fällt eine Zeile weg, da sie linear abhängig ist:

1 0  |0

=>

x = 0

Damit haben wir als Lösungmenge ( 0 ,y) wobei y beliebig ist.

Als Eigenvektor wählen wir also (0,1).

Genau so,musst du beim Rest auch vorgehen. (Bei 2x2 Matrizen ist das glaub ich noch recht simpel)

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ich probiere es gleich mal^^

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Ist das so korrekt?

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Wir haben also das Gleichungssystem:

i-2 0 | 0

1 0  |0

Jetzt fällt eine Zeile weg, da sie linear abhängig ist:

1 0  |0

=>

x = 0

den part der wegfällt ist mir nicht ganz klar.

welche zeile immer? kann ich frei wählen hier?

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Ist zwar gut, dass du viel machst und rechnest.

Aber du arbeitest gefühlt einfach auf anhieb drauf los, ohne erstmal zu verinnerlichen, was du überhaupt machst.

Bei deinem Bild:

Du nimmst jetzt also die zweite Matrix.Warum rechnest du minus 2*E?

Also EW hast du doch hier +- 4 ausgerechnet?

Letzte Wiederholung:

EV sind die Vektoren, die in ker(A- Eλ) liegen.

"den part der wegfällt ist mir nicht ganz klar.

welche zeile immer? kann ich frei wählen hier?"

Wir haben in dem Schritt ein lineares Gleichungssystem. Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen. Sind hier zwei Zeilen linear abhänging, dann reduziert sich das ganze System.( ob ich jetzt 2x+2y = 2 oder x+y=1 habe, es bleibt die selbe Bedingung für x und y).

LGS sollten aus der Schule bekannt sein.

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Danke Dir ;)

Ja manches fällt mir grad schwer.

(Kann keine vorlesung besuchen) das macht das ganze ziemlich schwierig für mich

Den rest rechne ich dann morgen weiter ;)

Gute nacht

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alles klar.

ich bin alles nochmal detaliiert durchgegangen.

die 30 packe ich aber leider nicht.

da ich diesen part nicht weiss wie es anwenden soll.

30)

a)

Du hast:

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

und

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

selber nachrechnen, sollte ziemlich schnell gehen.

Vielen Dank

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Wo ist denn das Problem?  Du weißt wie man das Char Polynom berechnet.  Einfach anwenden.  Bzw. Char Polynom lässt sich aus ew bestimmen,  die lassen sich hier ablesen (Dreiecksmatrix)

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Ich hab sowas hier gemacht.

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komme aber für E4 nicht drauf^^

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Wo ist das Problem,  genau das selbe bei E4 zumachen?

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Ich verunsichert wie ichE4 aufschreibe und rechne.

Muss dann diagonal

1- λ stehen? Und dann wie oben?

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E4 ist die Einheitsmatrix. Die kriegst du schon aufgeschrieben denke ich.  Wie du gesagt hast einfach bei den diagonalelementen lambda abziehen.  Dann Determinate bestimmen.

Oder die eigenwerte einfach ablesen.  Wir haben hier ja eine Dreiecksmatrix

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Ist das jetzt richtig so?

Und wie weiter?

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Jap. Hätte das in der Faktorform stehen gelassen.

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Ist die afg so fertig? Kommt dann jetzt die c?

Wie muss ich da vorgehen?

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Ja, jedoch hast du die b hier zumindest auch noch nicht gelöst.

Bei c einfach die Aussage mit dem Beispiel durchrechnen.

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Muss ich bei der b

Jetzt beide gleich stellen?

Damit det A = det B

Ist.

Und schauen wann es das ist?

λ=(1-λ)^4 rechnen?

Ergibt das einen sinn?

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Nein,  a hat nichts mit b zu tun.  Habe dir oben eine Anleitung geschrieben wie du dir zwei Matrizen basteln kannst,  für die das nicht gilt.

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könntest du mir bitte noch schnell hier zeigen

https://www.mathelounge.de/417859/affine-abbildung-aufgabe-1-bitte-h28

was ich machen muss.

um 17 uhr müsste ich abgeben.

Jede Hilfe wäre extrem hilfreich ;)

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Nee,  hab da keine ahnung mehr von,  wie das geht.  Müsste mir halt, genau wie du,  erst die Anleitungen im Internet dazu anschauen.  Das schaffst schon.

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Danke dir jedenfalls sehr ;)