Mengen auf injektive Abbildung

Question

Es seien A und B Mengen,

f : A → B eine injektive Abbildung und A ≠ ∅.

Zeigen Sie, dass es eine Abbildung g : B → A mit

im(g) = A gibt.

Hinweis: Definieren Sie g separat auf den Mengen

im(f) und B∼im(f).

Erinnerung: „im(f)“ bezeichnet das Bild der Funktion f.

Answer 1

Da f Injektiven ist, ist die Abbildung  f~ : A →  Im(f)  bijektiv, also umkehrbar ,

somit existiert   f~^-1  : Im(f)  →  A .

Da A≠∅, gibt es ein y∈A.

Definiere nun g : B → A durch

                  g(x) =   f~^-1 (x) für  x ∈ Im(f) und
                  g(x) =   y           für  x ∈ B \  Im(f) 

Ist eine Abbildung, da für jedes x ∈ B genau ein Funktionswert

definiert ist; denn B  und  B \ Im(f)  überschneiden sich natürlich nicht.