Zeigen Sie, dass der Fußgänger auch dann nicht überfahren wird, wenn der Fahrer endlos weiterfährt.

Question

Aufgabe - Ein merkwürdiges Bremsmanöver:

Gefahr! Ein Auto ist \( 20 \mathrm{~m} \) von einem Fußgänger entfernt. Nun fängt der Fahrer an zu bremsen. Seine Geschwindigkeit verringert sich nach der Funktion \( \mathrm{v}(\mathrm{t})=40 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{t}}(\mathrm{t} \) in Sek., \( \mathrm{v} \) in \( \mathrm{m} / \mathrm{s}) \).

Zeigen Sie, dass der Fußgänger auch dann nicht überfahren wird, wenn der Fahrer endlos weiterfährt, bis ans Ende der Zeiten.

Hinweis: Der zurückgelegte Weg ist das Integral der Geschwindigkeitsfunktion über das entsprechende Zeitintervall.

Thema: Analysis, Uneigentliche Integrale

Answer 1

Hallo Probe,

der zurückgelegte Weg s (in Metern) im Zeitintervall  [ 0, x ]   ist  

s(x) = ₀∫^x  v(t) dt   =  ₀∫^x  40 * e^-2t dt  =  [ - 20·e^-2t ]₀^x =  -20 * e^-2x + 20  

Wäre s(x) ≥ 20 (also größer als der zur Verfügung stehende Bremsweg),                         dann müsste e^-2x ≤ 0 sein, was natürlich nicht sein kann.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielleicht kannst du das genauer erläutern...:

Wäre s(x) ≥ 20 (also größer als der zur Verfügung stehende Bremsweg),                         dann müsste e^-2x ≤ 0 sein, was natürlich nicht sein kann.

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Die Person steht 20m entfernt, also hat man einen möglichen Bremsweg s < 20m

s(x) = -20 * e^-2x + 20 könnte aber nur dann  ≥ 20 sein, wenn  e^-2x eine negative Zahl wäre.

Die Funktion f(x) = e^-2x verläuft aber immer über der x-Achse. Ihre Funktionswerte sind alle positiv.

Also ist der Bremsweg auf jeden Fall kleiner als 20m.

[ Bis "ans Ende aller Zeiten" käme er aber theoretisch beliebig nah an 20m heran :-), eine Vorstellung, die wegen lim_t→∞ v(t) = 0 zwar möglich,  in der Realität aber natürlich Unsinn ist, weil das Auto irgendwann für 1mm  100000 Jahre und mehr benötigen würde].

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Das geht außerdem auch nicht oder?:

20=-20e^{-2x}+20

x kann man nicht bestimmen....

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Dazu habe ich noch 2 Fragen:

1.) Was zeigt man mit: 20=s(x), also wenn man das gleich setzt?

2.) Was beduetet, wenn man x nicht bestimmen kann?

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20 = -20e^-2x+20 geht nicht, Sonst müsste ja auch 20 ≤ -20e^-2x+20 gehen :-) 

Außerdem müsste e^-2x = 0 sein.

1) dass der Bremsweg nicht gleich 20m sein kann ( kann man hier statt ≥ auch machen)

2)  Entweder, dass es ein solches x nicht gibt ( L = { } ), oder dass die Gleichung zu kompliziert ist, um sie explizit zu lösen. Meist gibt es dann Näherungsverfahren. 

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Die Lösung der Übung 12 soll laut Lösungen 20 sein...

Weißt Du wie man allgemein auf die Lösung 20 kommt?

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Es gilt nur:

Egal wie lang man sich  beim Bremsen weiter bewegt, der zurückgelegte Weg kommt zwar beliebig nah an 20m heran, erreicht 20 aber nie.

lim_x→∞  s(x)  =  lim_x→∞ (-20*e^-2x + 20 ) = 20   (x ist die Zeit)

oder als uneigentliches Integral:

₀∫^∞ v(t) dt  = 20    [m]      da die Zeit nicht ∞ werden kann, bleibt der Weg s immer unter 20m

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Answer 2

Zeige, dass die Gleichung 20 = ∫_0..xv(t) dt keine Lösung hat.