i) V = Kern(Φ)⊕Bild(Φ). ii) Kern(Φ) = Kern(Φ2). iii) Bild(Φ) = Bild(Φ2). Äquivalenz dieser Aussagen zeigen

Question

Hat jemand hierzu eventuell eine Idee?    Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und Φ ∈ End(V). Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: i) V = Kern(Φ)⊕Bild(Φ).     ii) Kern(Φ) = Kern(Φ²).      iii) Bild(Φ) = Bild(Φ²).

Answer 1

(i) ==>  (ii)

a)  Sei x ∈ Kern(Φ) ==>   Φ(x) = 0   ==>  Φ(Φ(x)) = Φ(0) = 0 also x ∈ Kern(Φ² )

(Das gilt also immer unabhängig von (i) 

b)   Sei x  ∈ Kern(Φ² )    ==>   Φ² (x) = 0   ==>   Φ(Φ(x)) = 0

==>   Φ(x)  ∈ Kern(Φ) andererseits aber natürlich Φ(x)  ∈ Bild(Φ):  Wegen (i)

ist aber  Kern(Φ) ∩ Bild(Φ)  = {0} , also    Φ(x)  = 0 und damit   x ∈ Kern(Φ).

a) und b) bedeutet:    Kern(Φ) = Kern(Φ² ).




 

Comments

ich häng bei der aufgabe noch an der Aussage, dass Kern =0 ist. Wie kann man das zeigen, weil damit könnte man einen Ringschluss machen