Homogene Gleichung in Form f(x,y) bringen

Question

und wieder ein Problem. Diesmal hab ich aber nichtmal eine Ahnung wie ich danach suchen könnte.

Wir haben folgene homogene Gleichung:

xy'(x) -  y(x) - x = 0

und diese sollen wir in die Form:

y'(x) = f(x,y).

Wir sollen außerdem zeigen, dass f(x,y) homogen vom Grad 0 ist.
Anschließend sollen wir noch mit einer geeigneten Transformation die Gleichung lösen und eine allgemeine Lösung angeben.

Ich weiß nicht so recht wie ich anfangen kann oder worunter ich da suchen könnte. Jegliche Hilfe, gern auch in Zusammenarbeit ^^,  ist erwünscht.

Liebe Grüße

Answer 1

xy'(x) -  y(x) - x = 0

xy'(x)   =    y(x)  +  x   

   y'(x)   =    y(x) / x    +  1    


also ist f(x,y) =  y / x  +  1

und homogen von Grad 0 ist das, wenn f( kx,ky) = f(x,y) ist.

Und dem ist so.

Comments

Danke erstmal,
warum genau darf man y'(x) = y(x) / x    +  1 als f(x,y) =  y / x  +  1 schreiben? Ich mein ich sehe ja das die Funktion abhängig von y und x ist. Kann ich das dann einfach so annehmen? Denn das umformen nach y'(x) erscheint ja logisch.

zum "homogen von Grad 0". Wie hab ich das zu verstehen? Einfach dass ich statt f(x,y) =  y / x  +  1 nun f(kx,ky) =  ky / kx  +  1. Denn dann sehe ich ja, dass sich k raus kürzt und ich somit wieder f(x,y) habe. Stimmt das so? (Was genau hat es hier mit dem Grad 0 auf sich. Also warum ist es homogen vom grad 0 wenn f(kx,ky) = f(x,y)?)

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Also warum ist es homogen vom grad 0 wenn f(kx,ky) = f(x,y)? 

weil es allgemein heißt

homogen vom grad n wenn f(kx,ky) =  kⁿ *  f(x,y)?)und bei n=0 also 

 f(kx,ky) =  k⁰ *  f(x,y)  =  1*  f(x,y)  =  f(x,y) 

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Super, danke für die Erklärung!

Answer 2

Anschließend sollen wir noch mit einer geeigneten Transformation die Gleichung lösen und eine allgemeine Lösung angeben.

y '= 1+y/x

z=y/x

y=z-x

y' = z+ z'x

eingesetzt:

z+ z' x =1 +z

 z' x =1 ->Trennung d. Variablen

zum Schluß noch resubstituieren

Lösung: y= C₁ x +x *ln|x|

Comments

Danke dir für die Antwort und den Ansatz. 
Ich hab noch zwei/drei Fragen. 
1. Wie bist du auf y=z-x und y' = z+ z'x oder hast du die einfach angenommen (substituiert) weil es gepasst hat? Wenn ja wie zur Hölle bist du darauf gekommen, gibt's da nen Trick?

2. Ich hab jetzt mal die Variablentrennung gemacht. Das schaut bei mir so aus. 

So das schaut für mich schon mal richtig aus, oder? Nun stellt sich mir die Frage, wie substituiere ich das jetzt zurück, dass ich auf deine Antwort komme?

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Weiter darunter hab ich jetzt noch:

Rück.sub:
ln|x|+k=y/x

ln|x|x+kx=y

was ja dein Ergebnis wäre. 

Wenn das so Richtig ist, dann verstehe ich es. Is mir aber immer noch nicht klar wie du auf die substituierung: y' = z + z'x gekommen bist. 
Außerdem, was hat es da mit dem "y = z - x" aufsich? Ich glaube das hat bei mir erst die verwirrung verursacht. es kommt ja nirgends vor und wie du drauf kommst weiß ich auch net. 

(Trotzdem auch dir vielen Dank für die Hilfe schonmal)