Differentialgleichung y ′′ −5 y ′ +6y= e^(3t)

Question

Wir betrachten die folgende Differentialgleichung
$$ y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=\mathrm{e}^{3 t} $$

a) Berechnen Sie das zugehörige charakteristische Polynom und bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der dazugehórigen homogenen Differentialgleichung.

b) Finden Sie eine partikuläre Lösung dieser Differenzialgleichung.

kann jemand erklären, wie man beide Teile dieser Frage löst? danke im Voraus.

Answer 1

Hallo

a)

Ansatz: y=e^(kt), 2mal ableiten und in die DGL einsetzen

y ′′ −5 y ′ +6y= e^( 3t)

---------->Charakt. Gleichung:

k^2 -5k +6=0

k_1,2= 5/2 ± √(25/4 -6)

k_1,2= 5/2 ± 1/2

k₁=3

k₂=2

-->y_h=C₁ e^(2t) +C₂e^(3t)

b) y_p= A t e^(3t)  --------->Resonanz ( 3 von der Störfunktion e^(3t) ,ist einfache Lösung der charakt. Gleichung)

Ansätze siehe hier:

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

(2.Seite , Tabelle 2)

y_p 2 Mal ableiten ,in die DGL einsetzen

A=1

yp= t e^(3t)  -------->

y=yh+yp= yh=C₁ ^(2t) +C₂e^(3t) +t e^(3t)