Wieso kommt hier nicht die JNF raus :/?

Question

Hi, ich versuche gerade zu dieser Matrix eine Basis zur JNF zu finden und bin so vorgegangen:

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0&0 & 1 \\0& 2&0 & 0\\-2 & 0&2 & 2\\-1 & 0&0 & 3\end{pmatrix}$$

Charakteristisches Polynom: $$(2-\lambda)^{4}$$

Haupträume bestimmen: $$H_{1}=ker(A-2E)=ker\begin{pmatrix} 1 & 0&0 & 1 \\0& 0&0 & 0\\-2 & 0&2 & 2\\-1 & 0&0 &1\end{pmatrix}$$

$$H_{1}=L( \begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \\0 \end{pmatrix})$$

Jetzt sieht man ja bereits, dass A nicht diagonalisierbar ist, da die Dimension des Eigenraums zu klein ist.

Deshalb habe ich jetzt noch einen höherdimensionalen Kern berechnet:

$$H_{2}=ker(A-2E)=ker(\begin{pmatrix} 1 & 0&0 & 1 \\0& 0&0 & 0\\-2 & 0&2 & 2\\-1 & 0&0 &1\end{pmatrix})^{2}$$

 $$H_{2}=L( \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \\0 \end{pmatrix})$$

Jetzt habe ich e₄ zu dem ersten Hauptraum ergänzt, um eine Basis der JNF zu erhalten, also:

$$ B=L(\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \\1 \end{pmatrix},                                                                                                            \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \\1 \end{pmatrix})$$

Aber wenn ich A nun zu dieser Basis darstelle, erhalte ich zwar den einzigen Eigenwert 2 auf der Diagonalen, aber auch noch eine 1 ganz oben rechts, was ja nicht mehr der JNF entspricht...:/

Wisst ihr vielleicht was ich falsch gemacht habe?

MfG

Pizzaboss

Comments

Schon A-2E ist falsch.

---

Danke für die Antwort. Ich bin das ganze jetzt nochmal durchgegangen und bekomme jetzt mit dem richtigen Kern immer noch die gliechen Werte für H1 raus, aber füe
ker(A2)=0
also den ℝ4, woraus ich ja immer noch e4 ziehen könnte, aber dann bei der gleichen Basis wäre:/

---

Hat sich schon erledigt, ich hatte mit A anstatt mit ker(A-λE) multipliziert, trotzdem danke :D

Answer 1

Bei A-2E muss doch auf der Diagonalen in der 3. Zeile eine 0 hin

und oben links eine -1.

Comments

Oh man ja, du hast natürlich recht. Ich bin das ganze jetzt nochmal durchgegangen und bekomme jetzt mit dem richtigen Kern immer noch die gliechen Werte für H₁ raus, aber füe $$ker(A^{2})=0$$ also den ℝ^4, woraus ich ja immer noch e₄ ziehen könnte, aber dann bei der gleichen Basis wäre:/

Answer 2

Wenn DU die Kandidaten des (A-λ E)^2 anschaust

\(\small HVKandidaten1u \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

wobei e2,e3 im Kern (A-λ E) liegen, aber bereits als EV festliegen und schon mal festgehalten werden können. Aus e1 oder e4 kann dann (1,0,2,1) als Hauptvektor entwickelt werden.

===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&1&0\\2&0&0&1\\1&1&0&0\\\end{array}\right)\)

D:=T^(-1) A T

\(\small D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\\\end{array}\right)\)

---

Wenn Du GeoGebra kennst könnte das

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/cbrraju7

helfen?

Comments

Hi, danke für deine Hilfe. Ich habe mir auch den Text auf GeoGebra durchgelesen, aber verstehe nicht so ganz, wie du auf die (1,0,2,1) kommst. Wenn ich A mit e1 multipliziere, müsste doch (1,0,-2,-1) herauskommen oder?

---

Ab Zeile 21

findet man 5 Kadidaten für die HV Suche N=2

HVKandidaten1u\(:=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

und überprüft ob sie im Kern von (A-2 E)^N-1 liegen

KernHV1:=(A-2 E)^N-1 HVKandidaten1u
KernHV1 : \( =\left(\begin{array}{rrrr}-1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

e2 und e3 sind keine HV, weil sie im KernHV1 liegen. Sind aber "echte" EV (mit EW in der Diagonalen als Jordankästchen!)

Bleiben e1 und e4  ∉ KernHV1 als HV....

HV1u2:=(A - 2E) HVKandidaten1u
HV1u2 \( :=\left(\begin{array}{rrrr}-1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

... und die haben bis aufs Vorzeichen den gleichen HV Vorgänger (1,0,2,1)

In diesem Fall könnten wir gleich die Spalten aus KernHV1 abgreifen, weil N=2 und damit (A - 2E)^1 als Kern untersucht wird - Falls N>2 sind beide Schritte notwendig!

Die HV entwickelt man nicht mit A e1, sondern über (A-λE) e1 (oder e4)

===>

also können wir die "echten" EV mit e1 oder e4 + (1,0,2,1) zusammenbringen - mit einer 1 in der Nebendiagonale des Jordankästchens ("echte" HV).

Eine Kurzbeschreibung der HV Entwicklung steht in Zeile 15 und 18. Die Programmschritte sind doch auch im Textteil dokumentiert....

---

Vielen vielen Dank für die Mühe die du dir gemahct hast, dass hilft enorm!