Wieso ist nas neutrale Element hier nicht 0?

Question

Hi, ich bearbeite gerade die Aufgabe:  Sei G=R/Z, wobei R und Z als Gruppen mit + als Verknüpfung aufgefasst werden. Wir schreiben auch + für dieVerknüpfung auf G. Bestimmen Sie alle Elemente a von G, für die gilt: a+a+a ist das neutrale Element von G.

Ich verstehe nur die Lösungen nicht so ganz. Wieso darf es sein, dass dort dieser Ansatz gewählt wurde a+a+a=0+Z

Ich verstehe nicht wirklich, wieso es 0+Z und nicht nur 0 sein muss.....R/Z heisst doch gerade, dass G genau die Gruppe ist, die zwar die reellen, aber nicht die ganzen Zahlen beeinhaltet, oder? Und überhaupt, wieso nicht einfach nur 0?

Wäre super lieb, wenn mir jemand helfen könnte:)
VG

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Wieso ist nas neutrale Element hier nicht 0?

Weil 0 kein Element von R/Z ist, es ist übrigens auch kein Element von R\Z.

Answer 1

Ich verstehe nicht wirklich, wieso es 0+Z und nicht nur 0 sein muss.....
R/Z heisst doch gerade, dass G genau die Gruppe ist, die zwar die reellen, aber nicht die ganzen Zahlen beeinhaltet, oder?

Die Elemente von R/Z sind doch Klassen reeller Zahlen. Dabei gehören in eine Klasse alle Elemente von R,

die sich nur um einen Summand aus Z unterscheiden. Also gibt es dort z.B. die Klasse

{ 2,1  ; 3,1 ;   -0,9 ;  0,1  ;    567,1 ; ….   }   = 0,1 + Z    oder etwa auch

{ √2 ; 1+√2 ; 5+√2 ; -2+√2 ; 78+√2 ; ….. } = √2 + Z

und die "0" in dieser Gruppe ist die Klasse, welche die 0 enthält, also die Menge Z selber,

die du auch als [0] = 0+Z   schreiben kannst