Neutrale Element bei der Verknüpfung zeigen

Question

Hallo, ich stehe etwas auf dem Schlauch.

Ich habe hier eine Verknüpfung und soll die gruppenaxiome nachweisen.

Ich bin jetzt allerdings bei dem neutralen Element hängen geblieben.

Wie kommt man auf die rot markierten stellen?

Also auf a1 a2 und 1 0?

Ich schaue es mir schon die ganze Zeit an, kann es mir aber beim besten Willen nicht erklären

Liebe Grüße

Answer 1

Du hast die vorgegebene Verknüfung a°b. Du willst nun sehen, was ein neutrales Element ist bzw, dass neutrale Element. Für das neutrale element e muss gelten a°e=e°a= a. Nun setzt du a=(a1, a2) und e=(e1, e2). Weil gelten muss e°a =a siehst du, dass e1* a1-e2*a2= a1 und e1*a2+e2*a1=a2 gelten muss. Man sieht relativ direkt, dass das nur möglich ist, wenn e1=1 und e2=0 sind. Alternativ könntest du vermutlich die beiden linearen Gleichungssysteme auflösen. Dies wäre aber glaube ich zu umständlich gedacht. a=(a1, a2) soll nur bedeuten, dass du einen Repräsentanten, aus deiner Menge nimmst, die beliebig aber fest gewählt werden können.

Comments

Vielen dank :)

Answer 2

Multipliziere mal die beiden Vektoren dann kommst du drauf

Answer 3

Du willst ja dass e*a=a ist,  das ist die erste rote Stelle dann ist die Verknüpfung ja wohl wie hingeschrieben vorgegeben  und dabei kann ja e2 nur 0 sein und e1=1,e2=0  denn nur dann ist e*a=a.

Gruß lul

Answer 4

Die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}e_{1}a_{1}-e_{2}a_{2}\\e_{1}a_{2}+e_{2}a_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}\)

ist die Gleichung, die \(\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}\) für jedes \(\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}\in G\) erfüllen muss, damit \(\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}\) neutral bezüglich \(\circ\) ist.

Auf

        \(\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)

kommt man indem man die Gleichung löst.