Geben sie für (P(M),´´und´´) das neutrale Element an

Question

Bsp. M:={1,2}

P(M):= {{ }, {1}, {2}, {1,2} }

Wenn ich jetzt eine Teilmenge aus M nehme, also bsp.

{1}, dann ist wie wir in der Uni gesagt haben das neutrale Element die Menge M.

Warum kann ich nicht die Potenzmenge als neutrales Element nehmen, mir wurde nur gesagt, dass das dann die leere Menge erben würde, zu mehr war keine Zeit..

Aber die Teilmenge {1} liegt ja auch in der Potenzmenge...

Comments

"und" ist keine Verknuepfung für Mengen. Dein "und" ist sogar nicht mal definiert. Damit ist nichts anzufangen.

Answer 1

Was du wohl meinst, ist der Schnitt \(\cap\), nicht die und-Verknüpfung \(\land.\)

\((P(M),\cap)\) Und die Aufgabenstellung ist wohl, zu zeigen, dass das eine Gruppe ist.

Für alle Elemente von \(A\in P(M)\) gilt: \(A\subset M,\) also \(A\cap M=A\). \(P(M)\cap A=\emptyset,\) weil \(\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\cap\emptyset=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\cap\{1\}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\cap\{2\}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\cap\{1,2\}=\emptyset.\)

Der Grund ist, dass keines der Elemente in der einen Menge in der anderen enthalten sind. Zum Beispiel ist \(\{\{1,2\}\}\cap\{1,2\}=\emptyset\), weil \(\{1,2\}\neq1\land\{1,2\}\neq2.\) Man geht eine "Ebene" tiefer und vergleicht die Elemente miteinander. Jedes, das in beiden vorkommt, wird behalten.

Falls \(A\) aber zum Beispiel \(\{1\}\) ist, dann ist \(A\cap M=\{1\}\cap\{1,2\}=\{1\},\) weil \(1=1\) aber \(1\neq2.\)