Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegen. f(x)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1

Question

Guten Tag,

ich muss den Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegen. Leider weiß ich nicht wie ich es mit x⁵ machen sollte. Daher suche ich hier hilfe. Wäre nett wenn ihr mir den Lösungsweg angeben könntet, damit ich es weiß wie ich es in der Zukunft machen muss.

Funktionsterm:  f(x)=x⁵+x⁴-2x³-2x²+x+1

Answer 1

In diesem Falle lassen sich die Nullstellen x=1 und x=-1 erraten. Daher existieren die Linearfaktoren (x+1) und (x-1). Damit lässt sich x⁵+x⁴-2x³-2x²+x+1 ohne Rest durch (x²-1) teilen (Polynomdivision).
(x⁵+x⁴-2x³-2x²+x+1) / (x²-1) = x³+x²-x-1 Auch in diesem Quotienten x³+x²-x-1 lässt sich die Nullstelle x=-1 raten und (x³+x²-x-1)/(x+1)=x²-1. Damit ist (x²-1)²·(x+1) eine Faktorenzerlegung und (x-1)²(x+1)³ die Linearfaktorenzerlegung. 

Answer 2

x=1 ist eine (doppelte) Nullstelle  ( jeweils Probieren)

Wenn du zweimal eine Polynomdivision durch (x-1) durchführst, erhältst du

x³ + 3·x² + 3·x + 1  = (x+1)³ 

→  f(x) = (x-1)² · (x+1)³ 

Hier findest du einen Online-Rechner, der Polynomdivisionen mit Lösungsweg durchführt.

Gruß Wolfgang

Answer 3

man kann zuerst mal eine Nullstelle  $${ x }_{ 0 }$$ des Terms erraten und dann den entsprechenden  Linearfaktor  

$$ x-{ x }_{ 0 }$$  ausklammern.

Hier wäre z.B $${ x }_{ 0 }=1$$ eine Möglichkeit.

Das Prozedere kann man mehrmals wiederholen, da x=1 eine mehrfache Nullstelle ist.

$$ x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1\\=(x-1)(x^4+2x^3-2x-1)\\=(x-1)(x-1)(x^3+3x^2+3x+1)\\=(x-1)^2(x+1)^3 $$ 

Im letzten Schritt wurde der binomische Lehrsatz verwendet mit n=3 verwendet.