x^2 -2a^2 -2x + 1 in Linearfaktoren zerlegen

Question

Ich soll die Funktion...

x² -2a² -2x + 1

...in Linearfaktoren zerlegen.

Das Glied 2a² verwirrt mich, denn bislang hatten die Polynome, mit denen ich gearbeitet habe, immer nur x-Variablen. Wäre dem auch hier so, wüsste ich wie vorgehen (je nach Grad des Polynoms zuerst eine Nullstelle erraten, dann Polynomdivision durchführen solange, bis ich die restliche quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel lösen kann).

Kann bitte jemand helfen?

Answer 1

x² -2a² -2x + 1  = x² - 2x + 1 - (√(2)a)² = ...

Nun faktorisiere mit der zweiten und der dritten binomischen Formel!

Comments

$$ x^2 -2\cdot a^2 -2\cdot x + 1 = \\\,\\ x^2 -2\cdot x + 1 -2\cdot a^2 = \\\,\\ \left(x-1\right)^2-\left(\sqrt{2}\cdot a\right)^2 = \\\,\\ \left(x-1-\sqrt{2}\cdot a\right) \cdot \left(x-1+\sqrt{2}\cdot a\right). $$

Answer 2

Du kannst zum Faktorisieren Nullstellen suchen

x^2 - 2·a^2 - 2·x + 1 = x^2 - 2·x + 1 - 2·a^2 = 0

x = 1 ± √2·a

Also könne eine Faktordzerlegung lauten

(x - (1 + √2·a))·(x - (1 - √2·a)) = (x - √2·a - 1)·(x + √2·a - 1)

Comments

Danke für Deine Antwort. Nur verstehe ich das Ganze noch nicht mit den Nullstelen.

Hätte ich dieses 2a²-Glied nicht, könnte ich schreiben:

(x-1)(x-1)

Diesen Teil der Lösung erkenne ich schonmal in Deiner Lösung. Wieso kann ich jetzt aber das konstante Glied in diese Klammer integrieren?

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Löse bitte die quadratische Gleichung.

x² - 2·x + 1 - 2·a² = 0 

p = (-2)

q = (1 - 2a^2)

Was du bekommst sind die Nullstellen n1 und n2.

Damit können wir die Faktorisierte Form aufschreiben

(x - n1)(x - n2)

Dann ist man fertig.