Steckbriefaufgabe: Ladung eines elektronischen Blitzgerätes

Question

Aufgabe:

Beim Laden eines elektronischen Blitzgerätes für eine Fotokamera steigt die Spannung \( U(t) \) während des Ladevorgangs von 0 auf 400 V. Zur Modellierung dieses Ladevorganges verwendet man die Gleichung \( U(t)=400-b e^{-k t} \) mit Konstanten b und k.

a) Wie lautet der Funktionsterm U(t), wenn die Spannung nach 4 s den Wert 250 V erreicht hat? (Hinweis: die Spannung am Anfang ist 0 , d.h. \( U(0)=0 \mathrm{~V} \) und \( U(4)=250 \mathrm{~V} \) ).

Skizzieren Sie den Graphen von U für die ersten 20 s des Ladevorgangs.

b) Nach welcher Ladezeit ist das Blitzgerät einsatzbereit, wenn die Mindestspannung \( 350 \mathrm{~V} \) betragen muss?

Comments

Dem Text von a) kannst du entnehmen: U(0) = 0

1. Gleichung 0 = 400 - b*e^{-k*0} = 400 - b*1. Daher ist b schon mal 400.

2. Gleichung aus Text: U(4) = 250.

Also: 250 = 400 - 400*e^{-4k}
Jetzt das noch nach k auflösen.

b) 350 = 400 - 400*e^{-xk} nach x auflösen. k hast du ja aus a)

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Vielen Dank erstmal, aber woher nimmst du das?

1. Gleichung 0 = 400 - b*e-k*0 = 400 - b*1. Daher ist b schon mal 400.

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'Die Spannung ist am Anfang 0. also U(0)=0…' steht doch dort.

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Ja das ist mir klar, meinte eher die Formel?

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Die Formel steht auch dort (oberhalb von a).

Answer 1

Dem Text von a) kannst du entnehmen: U(0) = 0

1. Gleichung 0 = 400 - b*e^-k*0 = 400 - b*1.

Also: 0 = 100 - b

Daher ist b schon mal 400.

2. Gleichung aus Text: U(4) = 250.

Also: 250 = 400 - 400*e^-4k
Jetzt das noch nach k auflösen.

400*e^{-4k} = 400-250

400*e^{-4k} = 150

e^{-4k} = 150/400 = 15/40 = 3/8 = 0.375

-4k = ln(0.375)

k = - ln(0.375) /4 = 0.2452073

U(t) = 400 -400+e^{-0.2452073t}

b) 350 = 400 - 400*e^-xk nach x auflösen. k hast du ja aus a)

400*e^{-kx} = 50

e^{-kx} = 50/400 = 5/40 = 1/8

-kx = ln(0.125)

x = - ln(0.125)/k = 8.4803 s

Bitte selbst nachrechnen!