Wie lautet der Funktionsterm dieser Steckbriefaufgabe?

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit Df = R berührt die x-Achse im Punkte A(6/0) und hat im Ursprung die Steigung 9. Wie lautet der Funktionsterm?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe bei den Steckbriefaufgaben meistens nicht, was ich machen soll. Ich habe jetzt gerechnet und rausbekommen:

c = 9 , d = 0 und wenn ich nach a oder b auflösen will, bekomme ich immer 0 = 0 raus. Könnte mir jemand helfen bitte?

Answer 1

Zugang über die Nullstellenform der Parabel:

f(x)=a(x-N_1)(x-N_2)(x-N_3)

1.) Berührt in A(6|0)→  doppelte Nullstelle

2.)  hat im Ursprung → O( 0 | 0)

f(x)=a x(x-6)(x-6) = a x(x-6)^2

3.) Ursprung Steigung 9

f ´ ( x )=a*(x-6)^2 + a x*2(x-6)*1

f ´ (0)=a*(0-6)^2 + a *0*2(x-6)

a*(0-6)^2 =9

a=\( \frac{9}{36} \) =\( \frac{1}{4} \)

f(x)  =  1/4 x(x-6)^2

mfG

Moliets

Comments

dankeschön für deine mühe!!!

Answer 2

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f(6)=0

f'(6)=0

f(0)=0 → d=0

f'(0)=9 → c=9

f(6)=216a+36b+54=0

-- > 72a+12b+18=0

f'(6)=108a+12b+9=0

Subtrahieren:

-36a+9=0

a=9/36=1/4=0,25

108*0,25+12b+9=0

--> 27+12b+9=0 → b=-3

:-)

Comments

Danke, so hatte ich das auch, aber jemand meinte zu mir, dass es eine doppelte Nullstelle sein muss, da der Graph den Punkt nur berührt?!

Ich habe aufgestellt:
I. 0 = a*6^3 + b * 6^2 + c*6 +d
II. 0 = d
III. 9 = c

Passt das nicht?

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Richtig.

Nun fehlt nur noch f'(6)=0, da die x-Achse berührt wird, d.h. sie ist Tangente mit der Steigung Null.

:-)

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Sorry, ich steh aufm Schlauch... Wie muss ich jetzt weitermachen? :)

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Hast du dir meine Lösung oben angesehen?

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Upps, sorry, danke!!

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Wenn du einen Schritt nicht verstehst, kannst du gerne fragen.

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Doch, jetzt vesteh ich alles! Vielen lieben Dank :)

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Ich merke gerade, dass ich einen Vorzeichenfehler gemacht habe.

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Nun stimmt's!

:-)

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Danke dir!!

D. h. die Lösung der Gleichung lautet nun:
f(x) = 0,25x³ - 3x² + 9x

Oder?

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Genau. Das kannst du übrigens mit desmos gut nachprüfen.

:-)

Answer 3

Die Zusammenfassung
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f
dritten Grades
f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c * x + d
mit Df = R berührt die x-Achse im Punkte A(6/0)
f ( 6 ) = 0
f ´ ( 6 ) = 0 ( Stelle mit waagerechter Tangente
Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt )
und hat im Ursprung
( geht also durch den Ursprung )
f ( 0 ) = 0
die Steigung 9.
f ´( 0 ) = 9
Wie lautet der Funktionsterm ?

f ( 6 ) = 0
f ´ ( 6 ) = 0
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 9

Die Werte in die Funktionsgleichung einsetzen,
Lineares Gleichungssystem aufstellen
und berechnen.

Zur Kontrolle

f(x) = 0,25·x^3 - 3·x^2 + 9·x

Comments

vielen herzlichen Dank!! :)

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Gern geschehen.