Berechnen Sie die Stelle x, an der die Graphen der Funktion f und g die gleiche Steigung aufweisen.

Question

Die Aufgabe lautet :

Berechnen Sie die Stelle x, an der die Graphen der Funktion f und g die gleiche Steigung aufweisen.

g(x)=0,5*ln(x+1)+2,5    und    f(x)=(1/800)*x³-(1/40)*x²+(1/4)*x+2

Erstmal habe ich beide Funktionen Abgeleitet, g(x) habe ich mit der Produktregel abgeleitet (stimmt die Ableitung ?)

g´(x)=ln(x+1)+2,5+(0,5/x+2)   und    f´(x)=(3/800)*x²-(2/40)*x+(1/4)

dann  habe ich gleich gesetzt.

g´(x)=f´(x)

ln(x+1)+(0,5/x+2)+2,5 = (3/800)*x²-(2/40)*x+(1/4)

Jetzt hab ich keinen Plan wie ich nach x umstellen soll, das ln(x+1) bringt mich auch total durcheinander.

Comments

Aus welchem Umfeld stammt die Aufgabe ?

ist ein CAS zur Lösung zugelassen ?

Answer 1

g'(x)=0,5/(x+1). f '(x) ist richtig. Auch Gleichsetzen ist der richtige Weg.

Comments

Vielen Dank :)

Ja, stimmt die Ableitung von g(x) war falsch.

also mach ich dann so weiter

0,5/(x+1) = (3/800)*x²-(2/40)*x+(1/4) | *(x+1)

0,5= (3/800)*x³+(3/800)*x²-(2/40)*x²-(2/40)*x+(1/4)*x+(1/4) | -0,5

0= (3/800)*x³-(37/800)*x²+(1/5)*x-(1/4)

Pq-Formel kommt ja nicht hin, also eine Polynomdivision durchführen.

Aber ich komme auf keine Nullstelle wenn ich es mit der Wertetabelle im Taschenrechner mache.

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Du multiplizierst doch ein quadratisches Polynom mit (x+1). Lass das Produkt mal so stehen (nicht ausmulttiplizieren!). Dann hast du schon eine Nullstelle

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Die Nullstelle ist mit x=3 im ersten Schritt angenähert.

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Also dann so

0,5/(x+1) = (3/800)*x²-(2/40)*x+(1/4)         | *(x+1) 

0,5 = (3/800)*x²-(2/40)*x+(1/4) *(x+1)       | -0,5

0     = (3/800)*x²-(2/40)*x-(1/4)*(x+1)         | :(x+1)

0     = (3/800)*x²-(2/40)*x-(1/4)

Jetzt kann ich die Abc Formel benutzen

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Ne, das geht ja nicht, also mein Vorschlag^^

Answer 2

bei g(x) brauchst du keine Produktregel, weil 0,5 ein konstanter Faktor ist und 2.5 ein konstanter Summand, der wegfällt.

g'(x)=0.5/(x+1)=1/(2(x+1))

Comments

Ja, hast recht. Nach einiger Zeit nachdenken hab ich es gecheckt.

Also mach ich dann so weiter 

0,5/(x+1) = (3/800)*x²-(2/40)*x+(1/4) | *(x+1) 

0,5= (3/800)*x³+(3/800)*x²-(2/40)*x²-(2/40)*x+(1/4)*x+(1/4) | -0,5

0= (3/800)*x³-(37/800)*x²+(1/5)*x-(1/4)

Pq-Formel kommt ja nicht hin, also eine Polynomdivision durchführen.

Aber ich komme auf keine Nullstelle wenn ich es mit der Wertetabelle im Taschenrechner mache.

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$$ 0.5/(x+1) = (3/800)*x^2-(2/40)*x+(1/4) | *2 \\1/(x+1)=(3/400)*x^2-(1/40)*x+1/2|*(x+1)\\1=[x+1][(3/400)*x^2-(1/40)*x+1/2]|*400\\400=[x+1][3x^2-10x+200]\\400=3x^3-10x^2+200x+3x^2-10x+200\\400=3x^3-7x^2+190x+200\\0=3x^3-7x^2+190x-200 $$

Die Nullstelle x≈1.0756 erhältst du entweder mit den Cardano-Formeln oder mit Näherungsverfahren.

Vielleicht dürft ihr auch den TR zum lösen der Gleichung verwenden.

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beim Übergang von der 1. zur 2.Zeile
hast du geschrieben
( 2 / 40 ) * x * 2  => 1/ 40 * x

richtig
( 2 / 40 ) * x * 2  => 1/ 10 * x

mfg Georg

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Ja es hatte sich ein Fehler eingeschlichen, danke für den Hinweis.

Answer 3

Hier die Berechnungen meines Mathprogramms

Die Nullstelle liegt bei x ungefähr 2.1

Die zusammengesetzte Funktion g1 - f1 = 0
würde sich mit z.B. dem Newtonverfahren
lösen lassen.
Besser man hat ein Matheprogramm.

Bei Bedarf nachfragen.

mfg Georg