Welche der Zahlen sind Gaußsche Primzahlen?

Question

welche der Zahlen 0, 3 und 1+4i sind Gaußsche Primzahlen? Hier kommt es mir vor allen auf die Begründung an. Meine Idee: 0 nicht, 3 nicht und 1+4i schon. Kann das jemand bestätigen?

Answer 1

Mathemagiker,

Deine Antworten stimmen zu \(\dfrac{2}{3}\).

1. 0 ist in der Tat keine Gaußsche Primzahl, was direkt aus der Definition folgt.

2. 3 ist hingegen eine Gaußsche Primzahl, auch wenn die Norm \(3^2+0^2=9\) keine Primzahl ist. Wenn Du willst, kann ich Dir das beweisen.

3. Hier liegst Du wieder richtig, denn die Norm von \(z=1+4\cdot i\) ist \(1^2+4^2=17\) und 17 ist eine Primzahl.

André, savest8

Comments

Danke. Ich dachte immer, dass wenn die a^2+b^2 bei einer komplexen Zahl prim ist, dann handelt es sich um eine gauß'sche Primzahl. Warum ist das hier nicht so?

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Das ist richtig. Allerdings musst Du bedenken, dass aus etwas Falschem etwas Wahres gefolgert werden kann. Wenn also \(A\) in der Implikation \(A\Longrightarrow B\) falsch ist, dann ist \(B\) nicht automatisch falsch. In Deiner Argumentation schließt Du aus der Falschheit der Prämisse auf die Falschheit der Aussage, was nicht korrekt ist. Zudem müssen \(a,b\in\mathbb{Z}\) sein, was in diesem Fall zwar stimmt, aber in Deinem Kommentar nicht erwähnt wurde. Hilft Dir das weiter? Stelle ruhig weitere Fragen, wenn noch etwas unklar ist.