Welche der Zahlen sind Gaußsche Primzahlen?

Question

welche der Zahlen 0, 3 und 1+4i sind Gaußsche Primzahlen? Hier kommt es mir vor allen auf die Begründung an. Meine Idee: 0 nicht, 3 nicht und 1+4i schon. Kann das jemand bestätigen?

Answer 1

Mathemagiker,

Deine Antworten stimmen zu $\dfrac{2}{3}$.

1. 0 ist in der Tat keine Gaußsche Primzahl, was direkt aus der Definition folgt.

2. 3 ist hingegen eine Gaußsche Primzahl, auch wenn die Norm $3^2+0^2=9$ keine Primzahl ist. Wenn Du willst, kann ich Dir das beweisen.

3. Hier liegst Du wieder richtig, denn die Norm von $z=1+4\cdot i$ ist $1^2+4^2=17$ und 17 ist eine Primzahl.

André, savest8

Comments

Danke. Ich dachte immer, dass wenn die a^2+b^2 bei einer komplexen Zahl prim ist, dann handelt es sich um eine gauß'sche Primzahl. Warum ist das hier nicht so?

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Das ist richtig. Allerdings musst Du bedenken, dass aus etwas Falschem etwas Wahres gefolgert werden kann. Wenn also $A$ in der Implikation $A\Longrightarrow B$ falsch ist, dann ist $B$ nicht automatisch falsch. In Deiner Argumentation schließt Du aus der Falschheit der Prämisse auf die Falschheit der Aussage, was nicht korrekt ist. Zudem müssen $a,b\in\mathbb{Z}$ sein, was in diesem Fall zwar stimmt, aber in Deinem Kommentar nicht erwähnt wurde. Hilft Dir das weiter? Stelle ruhig weitere Fragen, wenn noch etwas unklar ist.