Warum gilt (√(a-b+b) - √b) ≤ (√(a-b) + √b - √b)?

Question

 

ich hab mal eine kurze Frage die mir hoffentlich jemand beantworten kann:

Warum darf ich wenn ich die Voraussetzung a ≥ b ≥ 0 habe folgende Abschätzung vornehmen?

√(a-b+b) - √b   ≤   √(a-b) + √b - √b

Answer 1

Nach einem Kommentar von nn korrigiert:

√(a - b + b) - √b ≤ √(a - b) + √b - √b

√a - √b ≤ √(a - b)

Comments

Warum sollte \(2\le\sqrt8\) nicht gelten?

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Oh. Da steht ja kleiner gleich. Ops. mein Fehler. Ich verbessere das. 

Danke für dein wachsames Auge.

Im folgenden werde ich zeigen, dass

√a - √b ≤ √(a - b) 

Es muss hier ja b a >= b gelten, damit die rechte Seite definiert ist. Damit sind beide Seiten positiv und ich darf quadrieren.

(√a - √b)^2 ≤ a - b

a - 2√(ab) + b ≤ a - b

2b ≤ 2√(ab)

b ≤ √(ab)

b*b ≤ a*b

b ≤ a