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angenommen man hat eine quadratische Matrix und soll zeigen, dass zum Beispiel y=1 ein Eigenwert dieser Matrix ist. Man kennt den dazugehörigen Eigenvektor noch nicht.

Wie würde man das allgemein machen bzw. was muss gelten?

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Hallo Simon_W 1997,

Du berechnest das charakteristische Polynom der quadratischen Matrix und setzt den Eigenwert \(y=1\) ein. Wenn das Ergebnis 0 ist, handelt es sich um einen Eigenwert der Matrix.

Reicht Dir das als Erklärung oder möchtest Du noch ein Beispiel dazu haben?

André, savest8

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Ja das habe ich verstanden. Aber geht das nicht schneller ohne Polynom? Denn in dieser Klausuraufgabe sollte man kein Charakter.  Polynom ausrechnen :)

Hallo Simon_W 1997,

könntest Du vielleicht die Matrix aus der Aufgabenstellung posten?

Grüße

Noch eine Frage: welchen Wert hat der gegebene Eigenwert? Im Titel steht \(y=0\), in der Aufgabenbeschreibung \(y=1\).

Also das war eine ganz normale 3x3 matrix . Ich habe die Lösung leider nicht mehr da, aber da wurde irgendwie wie mit Kern gerechnet . Leider finde ich die Aufgabe nicht mehr :)

Wenn \(y=0\) ein Eigenwert der Matrix ist, dann ist diese nicht invertierbar. Wenn der Kern einen Vektor enthält (und dieser nicht trivial ist), dann ist die Matrix nicht invertierbar und \(y=0\) ein Eigenwert.

Hilft Dir das?

Ich schau mal ob ich die Aufgabe nochmal finde :) dann können wir das nochmal abarbeiten

Okay. Das von mir zuvor beschriebene Kriterium gilt auf jeden Fall.

okay. Ich habe die Aufgabe bzw. die Lösung nochmal.Zeigen Sie: y=-1 ist ein Eigenwert von A.Bild Mathematik

Ich verstehe nicht, wie Kern(yI-A) =.... unabhängig von y sein kann

Einfacher wäre es in meinen Augen, wenn man die Determinante von \(\lambda\cdot I-A\) berechnet statt den Eigenvektor zu suchen, der noch nicht einmal gefordert ist. Aber gut, die werden sich schon etwas dabei gedacht haben;-) Die gehen davon aus, dass wenn Du den Kern von \(\lambda\cdot I-A\) berechnest und dieser einen nicht-trivialen Vektor \(v\neq 0\) enthält, \(\lambda\) ein Eigenwert ist, was ein durchaus legitimes Vorgehen darstellt. 
Was genau meinst Du mit "[...] wie Kern(yI-A) =.... unabhängig von y sein kann"? Das ist er ja nicht. Abhängig davon, welchen Wert \(\lambda\) annimmt, erhält man einen entsprechenden Eigenvektor. Hier ein kleines Beispiel: Bild Mathematik

Wäre nicht nach dem Eigenvektor gefragt worden, hättest du dann eine Möglichkeit gesehen das anders zu lösen?

Gerne doch. Ja, ich hätte entweder \(A-\lambda\cdot I\) berechnet und geprüft, ob \(\det(A-\lambda\cdot I)=0\) (\(\lambda\) ist dann ein Eigenwert) oder das charakteristische Polynom \(p(x)\) zu \(A\) ermittelt und \(p(\lambda)=0\) geprüft (ähnlicher Gedanke wie bei der Determinante). Entwickelt hätte ich die Determinante nach der 3. Spalte, da man sich wegen \(a_{13}=0\) eine Unterdeterminante spart.

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