Einfacher wäre es in meinen Augen, wenn man die
Determinante von \(\lambda\cdot I-A\) berechnet statt den
Eigenvektor zu suchen, der noch
nicht einmal gefordert ist. Aber gut, die werden sich schon etwas dabei gedacht haben;-) Die gehen davon aus, dass wenn Du den
Kern von \(\lambda\cdot I-A\) berechnest und dieser einen
nicht-trivialen Vektor \(v\neq 0\) enthält, \(\lambda\) ein Eigenwert ist, was ein durchaus
legitimes Vorgehen darstellt.
Was genau meinst Du mit "[...] wie Kern(yI-A) =.... unabhängig von y sein kann"? Das ist er ja
nicht. Abhängig davon,
welchen Wert \(\lambda\) annimmt, erhält man einen
entsprechenden Eigenvektor. Hier ein kleines Beispiel: