Integral von sin^2(x), was mache ich bei der partiellen Integration falsch?

Question

$$ \int sin^2x ~dx=sin x(-cosx)-\int cos x(-cosx) dx=-sin x\cdot~cosx+\int cos^2x~ dx=-sin x\cdot~cosx+sin x\cdot~cosx-\int -sin^2x~ dx\\\leftrightarrow\\\int sin^2x~ dx+\int -sin^2x~ dx=-sin x\cdot~cosx+sin x\cdot~cosx=0$$

Falls der/die AntwortgerIn das Tex-Tool für die Antwort benutzen möchte :

https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=%24%24%20%5Cint%20sin%5E2x%20~dx%3Dsin%20x(-cosx)-%5Cint%20cos%20x(-cosx)%20dx%3D-sin%20x%5Ccdot~cosx%2B%5Cint%20cos%5E2x~%20dx%3D-sin%20x%5Ccdot~cosx%2Bsin%20x%5Ccdot~cosx-%5Cint%20-sin%5E2x~%20dx%5C%5C%0A%5Cleftrightarrow%5C%5C%0A%5Cint%20sin%5E2x~%20dx%2B%5Cint%20-sin%5E2x~%20dx%3D-sin%20x%5Ccdot~cosx%2Bsin%20x%5Ccdot~cosx%3D0%24%24

Danke :)

Answer 1

Falsch ist das ja nicht, nur es hilft nicht wirklich weiter.

Ersetze mal nach der 1. partiellen Integration das cos²(x) durch  1 - sin²(x)

Dann hast  du

∫sin²(x)  dx =  - sin(x) cos(x) + ∫ ( 1 - sin²(x) )dx 

∫sin²(x)  dx = - sin(x) cos(x) + ∫ 1 dx     - ∫ sin²(x) )dx  

dann auf beiden Seiten    ∫ sin²(x) )dx    addieren gibt

2 ∫sin²(x)  dx = - sin(x) cos(x) + x   

und dann beide Seiten durch 2 und du hast es.