Der Graph \(K\) (blau):
~plot~(x^4)/16-(x^3)/2+x^2;3x/4-3/16;-(x^2)/4+x~plot~
a) der Graph ist anscheinend symmetrisch zu der Senkrechten bei \(x=2\). Es existieren zwei Berührpunkte mit der X-Achse bei \(x=0\) und \(x=4\).
Nachprüfen lässt sich das, indem man \(f(0)\) und \(f(4)\) berechnet. In beiden Fällen erhält man 0. Die Ableitung ist
$$f\prime(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x$$
Die Werte für \(f\prime(0)\) und \(f\prime(4)\) sind ebenfalls =0 - es handelt sich also um Berührpunkte (\(f\prime \prime \ne 0\)).
Ist eine Funktion \(f(x)\) symmetrisch zu einer Senkrechten durch \(s\), so muss gelten, dass \(f(s-a)=f(s+a)\) für alle \(a\).
$$f(2-a)=\frac{1}{16} \left( a^2 - 4\right)^2$$
$$f(2+a)=\frac{1}{16} \left( a^2 - 4\right)^2$$
Die Funktionen sind gleich, damit ist die Symmetrie bezüglich \(x=2\) bewiesen.
b) Die Gerade \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{16}\) (rot) berührt \(K\) bei \(x=1\).
Beide Funktionen haben hier einen gemeinsamen Funktionswert \(f(1)=\frac{9}{16}\) und \(y(1)=\frac{9}{16}\) und ihre Ableitungen sind ebenfalls identisch \(f\prime(1)=\frac{3}{4}=y\prime\)
c) Die gemeinsamen Punkte der Funktion \(f(x)\) und der Parabel (im Graphen grün) erhält man nach Gleichsetzen der Funktionen
$$\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+x^2=-\frac{1}{4}x^2+x$$
$$\left( \frac{1}{16}x^3 -\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{4}x - 1 \right) x=0$$
Eine Lösung ist \(x_1=0\). Für die zweite Lösung probieren wir den Wert 4 (siehe Graph) - es ist \( \frac{1}{16}4^3 -\frac{1}{2}4^2+\frac{5}{4}4 - 1= 0\). Also ist \(x_2=4\) eine weiterer Schnittpunkt. Weitere Schnittpunkte findet man nach der Polynomdivision
$$\left( \frac{1}{16}x^3 -\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{4}x - 1 \right) / (x-4)=\frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$$ Die Nullstellen dieses quadratischen Polynoms berechnen sich aus der pq-Formel - \(x_3=x_4=2\). Dritter und vierter Schnittpunkt liegen auf einander.
Gruß Werner
Bem.: mache bitte für die Aufgabe 3 eine zweite Frage auf.
