Bestimmen Sie die Berührpunkte und die Tangentengleichung

Question

Aufgabe:

Vom Punkt P(5|0) sollen tangenten an den graphen von f(x)=(x+3)*e^(-0,5x) gelegt werden. Bestimmen Sie die Berührpunkte und die Tangentengleichung

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Danke im voraus

Answer 1

Ein beliebiger Punkt des Graphen hat die Koordinaten

\((x | (x+3)e^{-0,5x})\).

Die Gerade durch diesen Punkt und den Punkt (5|0) hat den Anstieg  \( m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+3)e^{-0,5x}-5}{x-0} \).

Das gilt natürlich auch dann, wenn dieser beliebige Punkt zufälligerweise gerade der gesuchte Berührungspunkt der Tangente ist. In dem Fall wäre diese Gerade die Tangente und hätte den Anstieg, der dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle x entspricht.

Berechne also die Ableitung von f(x)=(x+3)*e^(-0,5x) und setze den erhaltenen Funktionsterm mit \( \frac{(x+3)e^{-0,5x}-5}{x-0} \) gleich. Löse diese Gleichung nach x auf, und du hast die x-Koordinate des Berührungspunktes.

Comments

Als Ableitung habe ich jetzt e^(-0,5x)*(-1/2x-1/2)

Jetzt gleichsetzen, aber wie löse ich das alles nach x auf?

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Kann es sein, dass Du da die x und y-Koordinaten verwechselt hast?

Answer 2

Der Ansatz von Abakus ist sicherlich richtig, aber sind dort die \( x \) und \( y \)  Koordinaten des Punktes \( P \) vertauscht worden.

Es gilt einerseits, die Steigung der Tangente ist $$ m(x) =f'(x) = -\frac{1}{2}(x+1)e^{-\frac{1}{2}x} $$ und andererseits gilt $$ m(x) = \frac{f(x) - 0}{x -5} $$ Beides gleichsetzen ergibt

$$ \frac{f(x)}{x-5} = f'(x) $$

Diese Gleichung lösen ergibt \( x = 1 \) und daraus folgt \( m = -e^{-\frac{1}{2}} \)

Manchmal lohnt eben auch nachrechnen.

Comments

Den Ansatz hab ich, aber ich krieg die lange gleichung nicht nach x aufgelöst

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Vielleicht ein Fehler in der ersten Ableitung?

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Nein, ich krieg es bloß nicht umgestellt

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Wie wäre es, mit f(x)=(x-5)*f '(x) zu beginnen?

Um anschließend beide Seiten durch \(e^{-0,5x}\) zu teilen (was man hier möglicherweise uneingeschränkt darf)?

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$$ \frac{f(x)}{x-5} = \frac{(x+3)e^{-\frac{1}{2}x}}{x-5} = -\frac{1}{2} (x+1)e^{-\frac{1}{2}x} = f'(x)$$

Durch \( e^{-\frac{1}{2}x}\) dividieren da der Ausdruck \( \ne 0 \) ist.

Dann hat man $$ \frac{x+3}{x-5} = -\frac{1}{2}(x+1) $$ Mit Hauptnenner erweitern und alles auf ene Seite bringen gibt

$$ x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0 $$ Also ist die Lösung \( x = 1 \) und daraus folgt $$ m = m(1) = -e^{-\frac{1}{2}} $$

Und so sieht das aus