Tangentengleichung und Berührpunkte am Kreis (Punkt außerhalb des Kreises, siehe Aufgabenstellung)

Question

Aufgabe: In einem ebenen Koordinatensystem sind folgende Punkte gegeben:
                    A( -3 / -4 ) B ( 4 / -3 ) C ( 3 / 4 ) D ( -4 / 3 )                                   
1) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.

2) Der Inkreis k des Quadrates ABCD ist derjenige Kreis, der alle vier Quadratseiten
berührt. Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises k.
3) Vom Punkt P ( -7,5 / -2,5 ) werden die Tangenten an den Kreis k gelegt.
Berechnen Sie die Koordinaten der Tangentenberührpunkte B1 und B2 , sowie
die Gleichungen der Tangenten.
4) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PB1B2.
5) Überprüfen Sie Ihre Berechnungen anhand einer Zeichnung.

…

Problem/Ansatz:

ich lerne zur Zeit für meine Matheklausur (Studium) und sitze schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe.

Ich komme auf keinen Ansatz im dritten Aufgabenteil.

Kreisgleichung müsste lauten               k: x² + y² =  (0,5*5*√2)²   Mittelpunkt im Ursprung

Frage: Kann mir jemand sagen wie ich auf die Berührpunkte und die Tangentengleichung komme? Habe es mit dem Thaleskreis versucht.

Leider finde ich zu genau diesem Fall nichts im Netz. Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Answer 1

3) Vom Punkt P(-7.5 | -2,5) werden die Tangenten an den Kreis k gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Tangentenberührpunkte B1 und B2 , sowie die Gleichungen der Tangenten.

x^2 + y^2 = 12.5
([x, y] - [-7.5, -2.5])·([x, y] - [0, 0]) = 0 → x^2 + 7.5·x + y^2 + 2.5·y = 0

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte die Lösungen: [-0.5, -3.5] und [-2.5, 2.5]

Die Gleichungen der Tangente und die Kontrolle in einer Skizze schaffst du jetzt oder?

Comments

Vielen Dank, den Rest schaffe ich.

Wie haben Sie die Kreisgleichung aufgestellt?

Mein Ansatz war:

Gerade zwischen A und B berechnen → Lotrechte Gerade die durch                                 den Mittelpunkt bzw. Ursprung geht → Schnittpunkt beider Geraden → Abstand zwischen Mittelpunkt und Schnittpunkt gleich dem Radius des Inkreises

Es scheint das richtige Ergebnis zu sein, allerdings empfinde ich den Rechenweg als umständlich. Gibt es einen anderen (geschickteren) Weg als meinen?

LG

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Der Durchmesser vom Innkreis ist doch genau die Kantenlänge des Quadrates. Also ist der Radius die halbe Kantenlänge.