Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib Berührpunkte an

Question

Ermittle Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührpunkte an.

k:(x+3)^2+(y+1)^2=125 ; g: 2x+y=7

Answer 1

Die Tangente hat die Gleichung 2x+y=18. Der Berührpunkt ist (7;4) . Lösungsweg: y = -2x+b in Kreisgleichung einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen. In der dann entstehenden quadratischen  Gleichung ist b so zu wählen dass genau eine Lösung entsteht (der Term unter der Wurzel muss 0 sein).

Answer 2

eine Tangente steht senkrecht auf dem zugehörigen Radius.

Daher:

k:(x+3)²+(y+1)²=125 ; 

g: 2x+y=7, y = 7 - 2x hat die Steigung -2. 

Der zugehörige Radius hat die Steigung 1/2.

Plan für die Rechnung:

1. Sorge dafür, dass die Gerade

h: y= 1/2 x + q        durch M(-3 |-1) geht.

==> q. 

2. Schneide h mit k 

==> Koordinaten der beiden Berührpunkte.

3. Sorge dafür, dass die Tangenten mit den Gleichungen

t₁: y = -2x + q₁ und 

t₂: y = -2x + q₂  

durch die berechneten Berührpunkte gehen.

4. Kontrolliere das Ganze im Koordinatensystem und mit einem Plotter. 

Answer 3

\(k(x,y)=(x+3)^2+(y+1)^2-125\)      g: \(y=-2x+7\)   mit \(m=-2\)

\(k_x(x,y)=2(x+3)\)

\(k_y(x,y)=2(y+1)\) 

\(k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x+3}{y+1}\)

\(-2=-\frac{x+3}{y+1}\)→ \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)

Die Gerade  \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\) schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten.

Nun noch die beiden Tangenten berechnen.