Gesucht ist ein schiefer Drachen mit Umkreis. Gegeben sind drei Seiten

Question

Wie konstruiert man einen schiefen Drachen mit einem Umkreis, von dem die Seiten \(a\), \(b\) und \(d\) gegeben sind.

Definition 'schiefer Drachen': Ist ein Viereck, bei dem der Diagonalenschnittpunkt M die Diagonale durch B und D halbiert.

Bem.: mir ist eine Konstruktion bekannt, aber ich kann nicht beweisen, dass sie korrekt ist.

Fröhliches Tüfteln

Gruß Werner

Comments

1. Berechne oder konstruiere Strecken mit den Längen
    x_N = a * (a^2 + d^2) / (a^2 - d^2)  und  r = | d * (a^2 + d^2) / (a^2 - d^2) | .

2. Zeichne  A = (0 | 0)  ;  B = (a | 0)  ;  N = (x_N | 0) .

3. Zeichne die Kreise k ( N , r ) und  k ( B , b )  und ihren Schnittpunkt C.

4. Konstruiere den Umkreis k_U von ΔABC , erhalte Mittelpunkt M_U .

5. Zeichne die Strecke AC und den Kreis mit dem Durchmesser BM_U ,
     ihr gemeinsamer Punkt ist M .

6. Die Gerade BM schneidet k_U in D.

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Drei Bemerkungen :

1.  Im Falle a < d  ist der Begriff "Streckenlänge" für einen negativen Wert etwas unglücklich
2.  Im Falle a = d  ist statt des (nicht existierenden) Kreises k (N,r)  die Gerade  x = b  zu benutzen.
3.  5.,6. können ersetzt werden durch "D ist der Schnittpunkt von k_U mit k(A,d)" .

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Hallo hj2166,

Wow! das entspricht genau meiner Lösung, aber ich habe einige Anstrengungen gebraucht, um das zu prüfen. Nur weiß ich jetzt immer noch nicht, wieso die Konstruktion korrekt ist.

Wie kommst Du auf diese Terme \(a \frac{a^2+d^2}{a^2-d^2}\) bzw. \(d \frac{a^2+d^2}{a^2-d^2}\)?

Gruß Werner

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Ich nehme an, das liegt nicht am Sehnensatz (oder?) https://de.wikipedia.org/wiki/Sehnensatz

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Hallo Lu,

Danke für den Hinweis. Das könnte der entscheidende Hinweis sein ... muss ich erst mal drüber nachdenken.

Gruß Werner

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Wie kommst Du auf diese Terme

durch sehr viel Rechnerei.

Punkt D liegt auf dem Kreis mit Radius d um A = O. Mit dem Parameter φ = ∠(BAD) wird  D = (d*cos φ | d*sin φ). Dann lassen sich weiter die Mittelsenkrechten zu AB und zu AD aufstellen und ihr Schnittpunkt, das ist der Umkreismittelpunkt  M_U = ( a/2 | 1/(2 tan φ) * (d/cos φ - a) )  berechnen.
M ist der Mittelpunkt von D und B und die Gerade AM schneidet k_U in D , dessen Koordinaten sich zu
D = ( x(φ) | y(φ) )  mit
x(φ) = (a^2+d^2)*(a + d*cos φ) / (a^2 + d^2 + 2ad*cos φ)   und
y(φ) = (a^2 + d^2)*(d*sin φ) / (a^2 + d^2 + 2ad*cos φ)  berechnen.
Dieses ist nun aber eine Parameterdarstellung desjenigen Kreises, den ich oben angegeben habe.

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Edit :
M ist der Mittelpunkt von D und B und die Gerade AM schneidet k_U in C , dessen Koordinaten sich zu C =  ...