Lagebeziehungen, Vektoren

Question

Gegebn sei die Gerade g durch A (3/2/3) und B (1/6/5). Weisen Sie nach, dass der Punkt P (2/4/4) auf der Geraden g liegt.

Prüfen sie auch, ob der Punkt P auf der Strecke AB liegt.

Meine Ideen:

Parametergleichung von g:

g: x = (3 2 3) + r* ( -2 4 2 ), r ∈ ℜ

Punktprobe für P:

(2 4 3) = (3 2 3) + r ( -2 4 2)

r= 1/2

Also muss P auf g liegen, aber wie kriege ich die Parameterwerte für A und B raus?

Answer 1

A hat Parameterwert 0

und B hat den Wert 1.

Also ist P sogar der Mittelpunkt der Strecke.

Comments

Ja, aber wie kommt man auf diese Parameterwerte von A und B?

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genauso wie du an das 1/2 gekommen bist:

Punktprobe

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aber bei r musste man nur die Gleichungen äquivalent umformen. Bei A und B kann man nicht umformen, weshalb ich dort Probleme habe.

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Punktprobe für A

(3  2 3  ) = (3 2 3) + r ( -2 4 2)


<=>  ( 0  0  0  ) =   r ( -2 4 2)          also r=0


Bei B

(1   6   5   ) = (3 2 3) + r ( -2 4 2)


<=>  (  -2 4 2)   =   r ( -2 4 2)     also r= 1

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<=>  ( 0  0  0  ) =   r ( -2 4 2)          also r=0

Woher kommt der markierte Teil?

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(3  2 3  ) = (3 2 3) + r ( -2 4 2)      | - (3  2 3  )

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wie schlussfolgerst Du daraus, dass r= 0 sein muss?

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Ich glaube, ich habe es verstanden. Noch ein Beispiel: Schaue, ob P (0/0/6) auf den Geraden g durch  A(2/2/4) und B (4/4/2) liegt und auf der Strecke AB liegt.

Der Parameterwert für A beträgt hier

(2 2 4) = (2 2 4) + r (2 2 -2)

( 0 0 0 ) = r (2 2 -2)     r= 0

und für B:

(4 4 2) = (2 2 4) + r (2 2 -2)

( 2 2 -2) = r (2 2 -2)       r= 1

Stimmt es so also nur jetzt die Parameter von A und B

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Ja, so passt es.

Wenn du die Geradengleichung - wie hier - aus zwei Punkten

bildest, ist es übrigens immer so  0 und 1 .

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Achso, und was passiert, wenn ich eine Geradengleichung mit drei Punkten oder mehreren bilde? Gibt es da auch feste Zahlenwerte, wie hier 0 und 1

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Gerade ist immer durch 2 Punkte bestimmt.

Je nachdem wie du den Richtungsvektor bildest  P-Q oder Q-P ,

gibt es für den 2. Punkt auch schon mal -1 .

Am besten also mit Punktprobe (oder im Kopf rechnen) kontrollieren.