Ableitung, Stammfunktion von f(x) = sin^{2}x = (sin x)^2

Question

1. Die erste Ableitung

Die Ableitung von f(x) = sin^{2}x = (sin x)^2 = sin x * sin x

Ich verwende hier die Produktregel

u = sin x u' = cos x
v = sin x v' = cos x

u' * v + u * v' = cos x * sin x + sin x * cos x  (Punkt vor Strich) (a*b+b*a) = (a*b+a*b)
= sin x * cos x + sin x * cos x

Ich sehe also es wird zwei mal das selbe miteinander addiert.

= sin x * cos x + sin x * cos x / Also a + a = 2a deswegen kann ich im resultat sagen einfach 2 mal der eine Summand.

f'(x) = 2 sinx * cos x 


Die Frage
Sind meine Gedankengänge hier richtig, ich habe immer ein problem dass ich auf der suche nach verkettungen bin und das x innerhalb von sinusfunktionen auch ableiten will. also cos x * 1 (Äussere * Innere) 
Wann mache ich die Kettenregel ?

2. Die Bildung der Stammfunktion
Wie bilde ich hier die Stammfunktion von f(x) = sin^{2}x, bitte um eventuell Rechenweg oder kurze erklärung ?

Comments

Selbstversuch

$$\int { (sin\quad x)\quad =\quad -cos\quad x\quad +\quad c\quad  } \\ \int { (sin\quad x)^{ 2 } } =\quad (-cos\quad x\quad +\quad c)^{ 2 }\\ =\quad (-cos\quad x\quad +\quad c)*(-cos\quad x\quad +\quad c)\\ =\quad cos\quad x\quad -\quad c*cosx\quad -\quad c*cosx\quad +\quad c^{ 2 }$$

Meine Lösung

$$F(x)\quad =\quad cos\quad x\quad -\quad 2cosx*c\quad +\quad c^{ 2 }$$

Lösung im Buch
$$F(x)\quad =\quad \frac { x\quad -\quad sin\quad x\quad *\quad cos\quad x }{ 2 } $$

Answer 1

So einfach darfst du nicht quadrieren, da bei Ableitungen die Kettenregel und Produktregel auftritt und somit das Integral nicht so simpel ist.

Mach mal an deinem Beispiel die Probe und leite ab.Das Integral löst man mit partieller Integration oder mit trigonometrischen Umformungen, siehe z.B hier:
https://www.mathelounge.de/421721/integral-von-sin-was-mache-ich-partiellen-integration-falsch

Comments

Vielen Dank, das Prpblem ist, dass ich in mienem Buch gerade mal eine Seite habe die das Thema Stammfunktionen von sin und cos behandelt und deswegen nie wirklich gesehen habe wie man überhaupt so eine bildet. 

Es stehen also die funktionen und ihre Stammfunktionen und Beispiele:

f(x) = 5 cos x ==> F(x) = 5 sin x

Deswegen habe ich die idee mit dem Quadrieren übernommen.... Aber bin jetzt gerade nicht wirklich fähig die Stammfunktion mithilfe mienes Lernmittels von (sinx)^{2} zu bilden. 

---

Stammt die Aufgabe aus deinem Buch? Um die Aufgabe zu lösen müsste auch was zur partiellen Integration in deinem Buch stehen, ansonsten wäre es etwas viel verlangt dass du dir alles selbst herleiten sollst. Dein genanntes Beispiel  f(x) = 5 cos x ==> F(x) = 5 sin x ist richtig, aber das erscheint mir so das du zum ersten mal Stammfunktionen von sin(x) und cos(x) ermittelst, daher wundert mich die Aufgabe zum sin^2(x).Es gibt noch eine einfachere Möglichkeit (ohne partielle Integration)Man kann f(x)=sin^2(x)  umformen zu f(x)=1/2 - cos(2x)/2. Davon kann man eine Stammfunktion normal ermitteln:F(x)=x/2 - sin(2x)/4 . Beachte, dass durch (2x) im Argument ein Faktor 2 durch die Kettenregel beim Ableiten hinzukommt, weshalb in der Stammfunktion der Sinus durch 4 geteilt wird.Das Endergebnis kann man wiederum Umformen zu F(x)=x/2 - sin(2x)/4 =x/2-sin(x)cos(x)/2=[x-sin(x)cos(x)]/2

---

Super, vielen Dank, die anderen Lösungsansätze gaben keinen erfolg bisher aber wenn ich das probiere umzufomen, 

f(x) = sin^{2}x umformen zu: f(x) = 1/2 - cos(2x)/2

und dann Die Stammfunktion davin zu bilden
 habs probiert schaffe es nicht, du hast aber recht, wir haben die partielle integration noch nicht angeschaut. 


Dein Ansatz klingt für mich eigentlich sehr logisch aber ich schaffe es nicht davorn die Stammfunktion zu bilden wegen de Bruch natürlich, 

beim 1/2 hängt man ein x ran. beim Bruch komme ich nicht weiter.

Answer 2

1. Kettenregel:

Wenn die Innere Funktion x ist, dann brauchst du keine Verkettung nutzen. Kannst es aber. Bringt aber nichts, weil die innere Ableitung 1 ist.

2. Bildung der Stammfunktion

https://www.youtube.com/watch?v=7irXfnXiPG8

Comments

WOah sehr gut erklärt, ich probiere den Schritten zu folgen, wahrscheinlich muss ich mich vorerst damit begnügen dass ich auf die Stammfunktion komme, weil ich weiss was abgeleitet sinx ergibt....