Komplexe Zahlen (Winkel)

Question

Ich schreibe am Freitag meine Ingenieurmathematik I Klausur. Leider habe ich noch ein Problem mit den Komplexen Zahlen.

Den größten Teil habe ich verstanden nur den bereich mit den Winkeln nicht.

Hier paar beispiel aufgaben:

http://prnt.sc/e65ogh

http://prnt.sc/e65p65

http://prnt.sc/e65fou

Bei den Winkeln wird mal pi abgezogen, mal arctan benutzt oder mal nur pi multipliziert. Den Sinn verstehe ich leider nicht.

Bei der Beispiel Aufgabe:

z = -2+i

Wäre

Re(z) = -2

Im (z) = 1

Konjugierte Komplexe z = -2-i

Betrag z =  Wurzel (-2)^2 + (1)2 = Wurzel (5) = 2.23607

arg (z) [Winkel]=

Und hier habe ich meine Probleme den zu berechnen. Laut der Lösung muss dort

pi - arctan (1/2) stehen. die 1/2 sind mir klar, nur woher arctan und pi kommen ist mir unklar und die screens oben zeigen Aufgaben wo es sich ja unterscheidet.

Comments

Tipp: https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis#tanein

Du kannst die Vorzeichen mit berücksichtigen beim arctan. Danach muss bei Bedarf nur noch π oder 2π addiert werden, damit die Zahl im richtigen Quadranten liegt.

Answer 1

Du kannst dir ja immer zuerst überlegen in welchem Quadranten die Zahl liegt.

Also wenn Im-Teil und Re-Teil beied pos. sind , ist es der 1. Quadrant .

Dann bildest du einfach arctan ( Im-Teil /  Re-Teil )  und erhältst einen Winkel

zwischen 0 und pi/2 .

Liegt die Zahl im zweiten Quadranten, dann ist der Winkel ja zwischen pi/2 und pi.

Könnte so aussehen


Und dann ist ja   Im / Re  (also die Beträge davon)  der tan von dem roten Winkel

Und der gründe ( das ist der richtige ) entsteht durch pi minus roter Winkel.

Und so kannst du dir das für die anderen beiden Quadranten auch vorstellen.

Comments

ahhhh danke :D!

Habe jetzt paar Aufgaben gemacht und mir eine Allgemeine "Formel" aufgestellt. Stimmt diese ?

1. Quadrant = arctan (lm/re)

2. Quadrant = pi - arctan (lm/re)

3. Quadrant = arctan (lm/re) - pi

4. Quadrant = - arctan (lm/re)

+ Wenn LM und RE die gleichen Zahlen sich und sich somit auf 1 kürzen lassen kommt  -3pi/4

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Aber für Im und Re hast du immer die Beträge (also ohne VZ) genommen ?

Dann stimmt es wohl.

Wenn beide gleich und positiv sind, ist es aber pi/4.

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Ja immer ohne VZ,

das letzte war bezogen auf solche (bild im Anhang) 

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pi/4 stimmt, danke. Wieso es bei dem es nicht so ist weiß ich nicht :D