Polynomdivision berechnen: (x^3 - 6x^2 + 32) : (x + 2)

Question

hallo liebe Leute

kann mir jemand diesen Vorgang beschreiben

(x³-6x+32) : (x+2) = x² -8x +16

Comments

Polynomdivision findest du in den Links bei https://www.mathelounge.de/9031/kann-einer-einfach-unkompliziert-polynomdivision-erklaren vorgeführt. Video und sogar ein Rap.

Answer 1

Das ist eine Polynomdivision. Sie wird verwendet um Nullstellen einer einer Gleichung mit 3. oder höheren Gerades zu berechnen.

Dazu findet man Nullstellen durch Probieren, teilt das Polynom durch den entsprechenden Linearfaktor und kann dann auch die restlichen Nullstellen berechnen.

Das Verfahren ist eigentlich das der schriftlichen Division

Dein obiges Beispiel ist allerdings verkehrt. Es sollte wie folgt lauten

(x^3  - 6x^2 + 32) : (x + 2)  =  x^2 - 8x + 16
x^3  + 2x^2           
————————————————————————  
- 8x^2 + 32  
- 8x^2  - 16x        
———————————————————            
16x  + 32            
16x  + 32            
—————————                    
0

Du kannst eigene Beispiele auf der Seite https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/ berechnen.

Answer 2

 

 

zunächst einmal hast Du in der ersten Klammer wahrscheinlich ein Quadrat vergessen, es sollte wohl heißen:

(x³ - 6x² + 32) : (x + 2) = x² - 8x + 16

Probe: 

(x + 2) * (x² - 8x + 16) = x*x² - x*8x + 16x + 2x² - 16x + 32 = x³ - 6x² + 32

 

Dann:

Eine Polynomdivision wird genauso durchgeführt wie eine herkömmliche Division.

(x³ - 6x² + 32) : (x + 2) = x² | denn  x³ : x = x²; jetzt wird der ganze Divisor mit x² malgenommen und unter den 

Dividenden geschrieben:

x³ + 2x² | jetzt wird dieser Term von oben subtrahiert, und es bleibt

---------------------

     -8x² + 32 | das dividieren wir wieder durch (x + 2), das Ergebnis ist hier -8x, denn -8x² : x = -8x; auch das wird                                wieder mit (x + 2) multipliziert

     -8x² - 16x | und von oben subtrahiert, es bleibt

    -------------------------------------------------------------------

                16x + 32 | dividiert durch (x + 2) ergibt 16; Klammer damit multiplizieren, drunterschreiben und                      

                                   anschließend subtrahieren

                16x + 32

               -------------------------------------------------------------------

               Rest 0

 

Die roten Ausdrücke sind das Ergebnis der Polynomdivision: 

x² - 8x + 16

 

Besten Gruß

                 

Comments

hallo

was ist wenn ich statt dem (x+2)......( x-3) einsetzen würde ..??? immerhin war der 2er ja nur geraten

und wie komme ich auf die 8x

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und wie komme ich auf die 8x

Mathecoach und Akelei haben dir das schematisch vorgerechnet.

Du teilst -8x^2 durch x und schreibst das rechts hin.

was ist wenn ich statt dem x+2 x-3 einsetzen würde ..???

Wenn x= 3 keine Nullstelle des Polynoms ist, läuft deine Rechnung auf eine Polynomdivision mit Rest raus. Analog zu 15: 6 = 2 Rest 3 oder 15:6 = 2 + 3/6 = 2.5

immerhin war der -2er ja nur geraten Wenn du in der Schule Nullstellen bestimmen musst, kommst du ums Raten nicht herum.

Answer 3

  (x³-6x²+32) ; (x+2) = x²-8x+16

- (x³+2x²)

-------------

       -8x² +32

    -( -8x²-16x)

-------------------

               16x+32

           -(   16x+32)

          ------------------

                           0

Nun kann man das Ergebnis noch weiter faktorisieren, denn

x²-8x+16=(x-4)²    ( 2. binomische Form)

Das Polynom lässt sich in folgende Faktoren zerlegen:

 x³-6x²+32=(x-4)² *(x+2)