Nullstellen mehrfache Polynomdivision? f(x) = 1/32*(x^5-10x^3+20x^2-15x+4)

Question

ich wollte fragen ob ich die nullstellen folgender Funktion nur durch mehrfache Polynomdivioson berechnende kann. Meiner Meinung nach ist hier keine Substitution oder ein Ausklammern von x möglich.

1/32*(x^5-10x^3+20x^2-15x+4)

Answer 1

die Nullstelle x = 1 findest du nach mehrmaliger Polynomdivision (Hornerschema) und abschließender Anwendung der pq-Formel 4-mal

x⁵-10x³ + 20x² -15x + 4 =  (x-1)⁴ • (x + 4)

→ x_1,2,3,4 = 1 , x₅ = - 4       (sind natürlich nur ±Teiler von 4)

Hier findest du eine gute Erklärung zum Hornerschema bei youtube (spart Zeit, wenn man die Polynomdivision "von Hand" machen muss)

www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ja, durch mehrfache Polynomdivision , die 1 als Lösung kann man ja schnell raten

eine kleine Hilfe: (mit Rechenweg)

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

Lösungen : 1 und -4

Doe Lösung ist auch durch das "Horner Schema" möglich , wird aber erst beim Studium behandelt.

Comments

"Die Lösung ist auch durch das "Horner Schema" möglich , wird aber erst beim Studium behandelt."

Nur eine Info: Eine Vielzahl an Lehrern erklärt auch das Horner Schema. Zumindest habe ich die Erfahrung hier in Hamburg mit meinen Schülern gemacht.

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naja mein Abitur +Studium liegt schon ein bisschen zurück , man weiß ja vom Fragesteller nicht , ob es behandelt wurde oder nicht , vielleicht ist das ja auch von Region zu Region verschieden , denke das.

Answer 3

Man kann mit dem GTR auch einen Graphen zeichnen. Dort erkennt man die Nullstellen x = -4 und eine mögliche Nullstelle bei x=1. In diese zweite Nullstelle läuft der Graph sehr flach ein und wieder heraus, wobei die Werte in der Nähe von x=1  positiv sind, sodass eine mehrfache Nullstelle (doppelt oder vierfach) vermutet werden kann. Man kann annehmen, dass x=1 eine vierfache Nullstell ist und versucht es mal mit (x - 1)⁴(x+4). Wenn man etwas Glück hat, kommt beim Ausmultiplizieren der Funktionsterm heraus.

Answer 4

Es geht auch ohne die schon erwähnten Hilfsmittel, denn wegen

$$ f(-4) = f(1) = f'(1) = f''(1) = f'''(1) = 0 $$ folgt

$$f(x) = \frac {1}{32}\cdot\left(x^5-10x^3+20x^2-15x+4\right) = \frac {1}{32}\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x-1\right)^4.$$