Intregal Funktion minus oder plus

Question

Berechne den inhalt der Fläche, die von den Graphen eingeschlossen wird .

 

f(x) = x^3 - x                                    g(x) = -x^3 + x^2 + 2x

 

klar ... erst bestimmte ich die schnittpunkt um intervall zu definieren

 

dann die frage ist es egal ob ich         integral von f(x) - g(x)      oder         integral von g(x) - f(x)  bilde ??????

 

also ist   f(x) - g(x)       =       g(x) - f(x)      von der fläche her das gleiche ???

 

danke für eure hilfe

Answer 1

Hi,

da die Fläche über den Betrag definiert ist, ist das egal ;). |f-g|=|g-f|

 

Als erstes gilt es die Nullstellen zu bestimmen, damit man die Grenzen hat:

f(x)=g(x)

x^3-x=-x^3+x^2+2x   |x₁=0 damit auch gleich dividieren

x^2-1=-x^2+x+2        |+x^2-x-2

2x^2-x-3=0                |:2, dann pq-Formel

x₂=-1 und x₃=3/2

 

Es sind also zwei Flächen zu berechnen. Von -1 bis 0 und von 0 bis 3/2.

Die Funktion von Interesse ist f(x)-g(x)=2x^3-x^2-3x

 

Erste Fläche:

A₁=∫_-1⁰ 2x^3-x^2-3x dx = [1/2*x^4-1/3*x^3-3/2*x^2]_-1⁰ = 2/3

 

Zweite Fläche:

A₂=∫₀^3/2 2x^3-x^2-3x dx = [1/2*x^4-1/3*x^3-3/2*x^2]₀^3/2 = -63/32

 

Wie gesagt es ist nur der Betrag von relevanz. Es ist also A=|A₁|+|A₂|=2/3+63/32 = 253/96 ≈ 2,64

 

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Ja. Das ist das gleiche Es ändert sich nur das Vorzeichen

Kleiner Tipp. Ich finde es recht einfach die Differenzfunktion zu bilden.

d(x) = f(x) - g(x) = (x^3 - x) - (- x^3 + x^2 + 2x) = 2·x^3 - x^2 - 3·x
D(x) = x^4/2 - x^3/3 - 3·x^2/2

Schnittstellen bestimmt man über d(x) = 0

2·x^3 - x^2 - 3·x = 0
x·(2·x^2 - x - 3) = 0
x1 = -1
x2 = 0
x3 = 1.5

D(0) - D(-1) = 0 - (-2/3) = 2/3
D(1.5) - D(0) = -63/32 - 0 = -63/32

Die Gesamtfläche die Summe der einzelnen Beträge

A = 2/3 + 63/32 = 253/96 = 2.635416666