besondere Werte der Winkelfunktionen verstehen

Question

\( \begin{array}{cccccc}{\text { Grad }} & {0^{\circ}} & {30^{\circ}} & {45^{\circ}} & {60^{\circ}} & {90^{\circ}} \\ \hline \text { Rad } & {0} & {\frac{\pi}{6}} & {\frac{\pi}{4}} & {\frac{\pi}{3}} & {\frac{\pi}{2}} \\ \hline \operatorname{sinx} & {0} & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2} \sqrt{2}} & {\frac{1}{2} \sqrt{3}} & {1} \\ \hline \operatorname{cosx} & {1} & {\frac{1}{2} \sqrt{3}} & {\frac{1}{2} \sqrt{2}} & {\frac{1}{2}} & {0}\end{array} \)
 

Es gibt ja bekanntlich einige Werte als Bogenmass bei denen Sinus und Cosinus "besondere" Werte annehmen.

Ich frage mich was das besondere daran ist, wieso widmet man ihnen extra Zeit in der Lehre der triegonometrischenn Funktionen?

Und sind dies (Tabelle) alle besonderen Werte?

Comments

Darüber hinaus gilt  \(\cos\frac{\pi}5=\frac14\left(1+\sqrt5\right)\). Auch für \(\sin\frac{\pi}{17}\) existiert ein derartiger Ausdruck.

Answer 1

Es gibt nur wenige Sinuswerte, die man auf elementare Weise mit dem Pythagoras ausrechnen kann.  Sie sind rational oder sie können mit Hilfe von Quadratwurzeln  ausgedrückt werden.

"man" heisst: Du sollst die Herleitung dieser Zahlen kennen und zeigen können z.B. bei einer (mündlichen) Prüfung. 

Wenn ihr diese Tabelle bekommen habt, sollt ihr zumindest diese Werte auch begründen können. Mit Hilfe der Additionstheoreme kannst du dann noch viele weitere Sinus- und Kosinuswerte als Bruch- und Wurzelterme ausdrücken. 

Bedenke: Irgendwie berechnet dein Taschenrechner die Sinuswerte auch (der hat vermutlich keine ausführlichen Wertetabellen abgespeichert) 

Answer 2

Es sind alles besonderen Werte. Besonders daher, weil sie durch bekannte rationale und irrationale Zahlen ausgedrückt werden können. 

So ergeben sich oben bei genauem hinsehen die Werte

√0/2 = 0 ; √1/2 = 1/2 ; √2/2 ; √3/2 ; √4/2 = 1