Prüfungsvorbereitung: Ist A invertierbar? Nullraum von A? Rang? Diagonalisierbar?

Question

huhuu leute ich schreibe morgen eine Klausur und komme bei einigen aufgaben nicht zurecht.

ich würd mich freuen, wenn ihr mir zeigen könntet, wie ich solche Aufgaben lösen kann.

1.Bestímme ob wahr oder falsch und begründe:

Sei A∈K^nxn , sodass es ein B∈K^nxn , B≠0, mit AB=0. dann ist A invertierbar.

2.          (0  0  1  1)

       A=  (1  1  1  0)          Bestimmen sie eine Basis des Nullraums von A und seine dimension und finden sie eine Basis

             (1  0  1  0)          des zeilen- und des Spaltenraumes von A. welchen rang hat A.

3.        (3   0  -2  )

    A=   (18  -2  -5)        Bestimmen sie das charakteristische Polynom h_A ∈ℚ[t] von A, Berechne die Eigenwerte und            

           (-4  0  1  )        eigenvektor zum eigenwert der wahl

4. Bestimme für welche werte von c∈ℝdie Matrix A diagonalisierbar ist.

A= (5  -1)

     (c    1)

5.Gegeben sei die lin abb. F:ℝ₂[t] →ℝ₂[t], F(a+bt+ct²):=bt+2ct²

Berechne sie die Matrizen M^s_s (F) und M^B_S(F) , wobei S und B die folgenden Basen sind:

S= (1,t,t²) B=(1+t,1+t²,t+t²)

6. Sei A∈GL(n,ℝ) Zeigen sie, dass die Abb. h:ℝ^nxn →ℝ^nxn ,h(X):=A^-1XA ein isomorphismus ist.

würd mich freuen, wenn ihr mir etwas weiterhelfen könntet:)

   

 

Answer 1

1. Sei A invertierbar. Dann haben wir folgendes: $$AB=0 \Rightarrow A^{-1}AB=A^{-1}0 \Rightarrow B=0$$ ein Widerspruch. 

2. Der Nullraum (Kern) der Matrix besteht aus allen Vektoren x mit Ax=0. Wir müssen also das lineare Gleichungssystem Ax=0 lösen. 

Der Zeilen-, Splatenraum besteht aus der Menge aller Linearkombinationen der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. 

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren ( = Anzahl der linear unabhängige Spaltenvektoren ). Der Range ist also gleich der Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraums. 

3. Das charakteristische Polynom ist das p(λ)=det (A - λI), wobei I die Einheitsmatrix ist. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms p(λ). Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems (A-λ_iI)x=0, wobei λ_j die Eigenwerte. 

4. Hat eine n × n-Matrix A genau n verschiedene Eigenwerte, dann ist A diagonalisierbar. (In diesem Fall n=2.)