Die zweite Ableitung (gebrochen-rationale Funktion)

Question

Hallo Community,

ich brauche mal eure Hilfe mit der Quotientenregel bei gebrochen-rationalen Fkt. ich verrechne mich andauernd, aber nur bei der zweiten Ableitung. Hier mal eine Bsp. Aufgabe: (x^2-4)/(1-x^2). Kann mir jemand dabei helfen, im schlimmsten Fall einfach mal inklusive den Rechenschritten? :) 

Danke an die, die mir schnellstmöglich helfen können. Gruß

Answer 1

Die gegebene Funktion kannst Du wie folgt ableiten:

\( \begin{aligned} f(x) &=\frac{x^{2}-4}{1-x^{2}} \\ f^{\prime}(x) &=\frac{2 x \cdot\left(1-x^{2}\right)+\left(x^{2}-4\right) \cdot 2 x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} \\ &=\frac{-6 x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} \\ f^{\prime \prime}(x) &=\frac{-6\left(1-x^{2}\right)^{2}-6 x \cdot 2\left(1-x^{2}\right) \cdot 2 x}{\left(1-x^{2}\right)^{4}} \end{aligned} \)

Der Trick besteht in dem geschickten Umformen, sodass im nächsten Ableitungsschritt möglichst wenig "Arbeit" zu erledigen ist. \(f''(x)\) kannst Du dann noch zusammenfassen.

Hilft Dir das weiter?

Answer 2

 

$$y=\frac{x^2-4}{1-x^2}\\$$

$$ u=x^2-4\\ u'=2x\\ v=1-x^2\\ v'=-2x\\ $$     

allgemein:

$$y'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$$

$$y'=\frac{2x\cdot (1-x^2)-[(x^2-4)\cdot (-2x)]}{(1-x^2)^2}\\ y'=\frac{2x-2x^3-2x^3-8x}{(1-x^2)^2}\\ y'=\frac{-6x}{(1-x^2)^2}\\$$

$$u=-6x\\ u'=-6\\ v=(1-x^2)^2\\ v'=2(1-x^2)\cdot(-2x)=-4x(1-x^2)\\ ⇒$$

$$y''=\frac{-6(1-x^2)^2-[-6x(-4x(1-x^2))]}{(1-x^2)^4}$$ (1-x² ) ausklammern und kürzen $$y''=\frac{-6+6x^2-24x^2}{(1-x^2)^3}\\ y''=\frac{-6-18x^2}{(1-x^2)^3}\\ y''=\frac{-6(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}$$

                           

Answer 3

Tip : Polynomdivision durchführen dann wirds
einfacher

f = ( x² - 4 ) / ( 1 - x² )
f  = -1 - 3 / ( 1 - x^2 )

mfg Georg