Wie ist die Vorgehensweise bei Aufgaben mit dem Landau'schen Ordnungssymbol für Folgen?

Question

ich schreibe bald meine Mathe-Prüfung. Ich bin jetzt nochmal durch Analysis 1 durchgegangen und habe das Landau'sche Ordnungssymbol wiederholt. Das Grundkonzept davon habe ich meiner Ansicht nach verstanden. Aber wenn es zur Bearbeitung der Aufgabe kommt, kann ich die Umformungen aus unserer Großen Übung nicht nachvollziehen... Wäre nett, wenn mir jemand das erklären würde. Packe mal die erste Aufgabe und das Ergebnis rein. Ich gehe davon aus, dass ich eine Kleinigkeit nicht verstehe oder übersehe.

∃ c ∈ ℝ, c > 0 ∃ N : Ι(a_n/b_n)Ι ≤ c ∀ n > N.

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie k ∈ ℤ mit a_n = Ο(n^k) für die Folgen (a_n)∞_n0.

a_n = (n³ - 3n⁶ + 5n⁸) / (4n + 4n³ + 4n⁷) für n ≥ 1.

Dann benutzt man das Kriterium für das gesuchte Verhältnis und setzt für k=1 ein, sodass man denn Nenner der Folge mit n multipliziert.

Muss man jetzt n⁸ ausklammern um dann sagen zu können, dass wenn n -> ∞ geht der Rest wegfällt (=0)? Oder mache ich da was falsch? Für c hätte ich dann nämlich 5/4. Nach Übung ist das Ergebnis 3/2.

Mfg

Answer 1

Mit \(k=1\) ist \(b_n=n^1\) und es gilt

$$ \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{b_n} \right| = \dfrac 54 \lt \dfrac 64 = \dfrac 32 =: c. $$Man könnte \(c\) auch anders wählen, solange es größer als der Grenzwert 5/4 ist.

Ich hoffe, dass der Sachverhalt so ein wenig klarer erscheint.