Aufgabe:
Die Schreibweise $$O,o,~$$ kann man auch für Folgen benutzen z.B.
$$u_n\sim v_n\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=1\\ u_n=o(v_n)\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=0$$
Seien $$(u_n)_{n\in\N}$$und$$(v_n)_{n\in\N}$$ zwei positive Folgen.
$$\mathbf{1.}$$Wir setzen voraus, dass $$u_n = o(v_n).$$Zeigen Sie:
$$\bullet\Sigma_{n\geq 0}v_n$$ konvergiert$$\Longrightarrow\Sigma_{k\geq n}u_k=o(\Sigma_{k\geq n}v_k);$$$$\bullet\Sigma_{n\geq 0}v_n$$divergiert $$\Longrightarrow\Sigma^n_{k=0}u_k=o(\Sigma^n_{k=0}v_k).$$Geben Sie ein Beispiel an, in dem$$\Sigma_{n\geq 0}v_n$$ konvergiert aber $$\Sigma^n_{k=0}u_n=\Sigma^n_{k=0}v_n$$ nicht gilt.$$\\$$$$\mathbf{2.}$$Wir setzen nun voraus, dass $$(u_n\sim v_n).$$ Zeigen Sie: $$\bullet\Sigma_{n\geq}v_n$$ konvergiert$$\Longrightarrow\Sigma_{k\geq}u_k\sim\Sigma_{k\geq n}v_k.$$$$\bullet\Sigma_{n\geq 0}v_n$$ divergiert $$\Longrightarrow\Sigma^n_{k=0}u_k\sim\Sigma^n_{k=0}v_k.$$
Idee: Kann man $$u_n\sim v_n$$ mittels des Symbols $$o$$ ausdrücken?
