Hallo,
Willkommen in der Mathelounge !
... wenn ja alle Komponenten der Matrix A null sind, dann die Matrix einfach aus lauter Nullen besteht ... Das scheint mir aber zu simpel
Ja das ist zu simpel. Dort steht ja auch, dass nur diejenigen \(a_{jk} = 0\) sein sollen, für die gilt \(1 \le j \le k \le N\). D.h. umgekehrt, dass \(a_{jk}\) mit \(j \gt k\) durchaus \(\ne 0\) sein können. \(A \in K^{3\times 3}\) könnte also so aussehen:$$\text{z.B.:} \quad A= \begin{pmatrix}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 4& 2& 0\end{pmatrix}$$und weiter wäre in diesem Fall $$A^2 = \begin{pmatrix}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 4& 0& 0\end{pmatrix}$$ ist immer noch keine 0-Matrix; erst \(A^3 = 0\).
Bei Beweisen per vollständiger Induktion beginnt man mit dem Induaktionsanfang, d.h. man zeigt, dass der zu beweisende Zusammenhang für ein kleines \(N\) gilt. Hier \(N=1\). Es ist $$A = \begin{pmatrix}0\end{pmatrix} = A^1$$und damit ist der Induktionsanfang auch schon erledigt. Wenn man nun zum Induktionsschritt übergeht, und damit von \(A_N\) zu \(A_{N+1}\), wird daraus eine Matrix, die man so aufschreiben kann:$$A_{N+1} = \begin{pmatrix} A_{N} & \vec 0 \\ \vec a_{N+1,k}^T & 0 \end{pmatrix}, \quad A_{N+1} \in K^{(N+1)\times (N+1)}, \space A_N \in K^{N\times N}$$und die \((N+1)\)'te Potenz sieht so aus:$$\begin{aligned} \left(A_{N+1}\right)^{N+1}&= \begin{pmatrix} \left(A_{N}\right)^{N+1} & \vec 0 \\ \vec a_{N+1}^T \cdot \left(A_{N}\right)^{N} & 0\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \left(A_{N}\right)^{N} \cdot A_{N} & \vec 0 \\ \vec a_{N+1}^T \cdot \left(A_{N}\right)^{N} & 0\end{pmatrix} &&|\, \left(A_{N}\right)^{N} = \underline 0 \\ &= \begin{pmatrix} \underline 0 \cdot A_{N} & \vec 0 \\ \vec a_{N+1}^T \cdot \underline 0 & 0\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} \underline 0 & \vec 0 \\\vec 0 ^T & 0\end{pmatrix} \\&= \underline 0\end{aligned}$$was zu beweisen war. Wenn Du den Term in der ersten Zeile nicht verstehst, so versuche zunächst mal die Matrix \(A_{N+1}\) zu quadrieren. Ansonsten frage nochmal nach.
zu b) $$B = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 4& 2& 1\end{pmatrix} \\ \phantom{B} =\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 4& 2& 0\end{pmatrix}\\ \phantom{B} = \underline 1 + C$$Also ist \(B^{20}\)$$\begin{aligned} B^{20} &= (\underline 1+ C)^{20} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{20}{20\choose k} \underline 1^{20-k} C^k &&|\, C^k = \underline 0 \quad \forall k \ge 3 \\&= \underline 1 + 20 C + 190 C^2 \\&= \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 40& 1& 0\\ 840& 40& 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
