Matrizen für alle n ∈N

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈N gilt

$$\left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)^n= \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { n } & { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { n } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)$$

Comments

Entschuldigen Sie bitte, aber die Aussage gilt doch gar nicht für alle n, sondern nur für n=1!

Answer 1

zu zeigen:  $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n*(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

n=1 ist wohl klar. Dann mit Induktion. Gelte es für n, dann hast du

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{n+1} $$

$$=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{n}*\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Mit der Ind. annahme gibt das:

$$ = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n*(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix} 1 & 1+n & n+\frac{n*(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n+1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix} 1 & n+1 & \frac{n*(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n+1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Und das passt !

Comments

vielen Dank

könnten Sie bitte mir hier auch hilfen

Es sei A ∈R2×2. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) Für

(ii) Es gibt ein

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Stelle diese neue Aufgabe bitte als Frage unter

https://www.mathelounge.de/ask