Grenzwert ausrechenen/ 3-te Wurzel. (2*((2n+1)*(2n+2))3/2)/((3n+3)*(3n+2)*(3n+1))

Question

ich weiß dass der Grenzwert gegen + unendlich von (2*((2n+1)*(2n+2))^3/2)/((3n+3)*(3n+2)*(3n+1)) = 16/27 für n > 0 .

Also den Nenner bekomme ich hin, dass da 27 rauskommt durch ausmultiplizieren und dann n³ ausklammern. Aber wie mache ich das beim Zähler mit der 3-ten Wurzel?

Vielen Dank für Hilfe im Voraus ! :)

Comments

Muss  ich leider auch manchmal machen:-)

 In solchen Fällen kann man (durch einfaches Anklicken in Bearbeiten) die Antwort zu einem Kommentar machen (und damit die Punkte zurückgeben).

Wenn es die einzige Antwort ist, erscheint die Aufgabenstellung dann wieder als "Offene Frage".

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Danke für den Hinweis. Werde ich in Zukunft machen.

Answer 1

 (2*((2n+1)*(2n+2))^(3/2))/((3n+3)*(3n+2)*(3n+1)) 

^3/2 ist nicht 3. Wurzel sondern dasselbe wie "hoch drei" und dann die 2. Wurzel. Der Exponent gehört zum blauen Teil des Terms.

Es gelten die üblichen Potenzgesetze.

(2*((2n+1)*(2n+2))^(3/2))/((3n+3)*(3n+2)*(3n+1)) 

Du kannst dich auf die n mit den höchsten Exponenten begrenzen (falls du die entsprechende Theorie gehabt hast. Ansonsten oben und unten durch n³ teilen.

Höchste Exponenten:

(2*((2n)(2n))³/2 ) / (27n³)

=(3*(2n)^6/2) / (27n³)

=(3*(2n)³) / (27n³)

= (3*2³)/(27)

Comments

1/n³ = (1/n⁶)^1/2 = (1/n²)^3/2   (++)

(2*((2n+1)*(2n+2))^(3/2))/((3n+3)*(3n+2)*(3n+1))  

= (2* (1/n^3)* (4n^2 + 6n + 2)^{3/2}) /((3+3/n)*(3+2/n)*(3+1/n))  | wegen (++) 
   = (2* (1/n^3)* (4 + 6/n + 2/n^2 )^{3/2}) /((3+3/n)*(3+2/n)*(3+1/n))