Integral: Wie berechnet man die weisse Fläche?

Question

Gegeben sind die Funktionen f und g mit

f (x)=-1/8x (x-8) und g (x)=1/8x (x-8) und der Kreis mit dem Mittelpunkt M (4/0) und dem Radius 2.

Ich muss nun den Bereich der weißen Fläche berechnen.

Wie geht man nun hier vor und wie lautet der Rechenweg? Vielen Dank !

Answer 1

Aus Symmetriegründen kannst du rechnen:

F_weiss = (2*obere Bogenfläche total)- Kreisfläche

= 2 * ∫_(0)^8 (-1/8) x (x-8) dx  - π*2^2 

= 2 * ∫_(0)^8 (-1/8) x^2 + x dx  - π*2^2 

usw. 

Comments

Und das funktioniert, weil es keine weiteren gemeinsamen Punkte von Kreis und Parabel gibt.

Das sollte noch dazugesagt  (und je nach Niveau auch bewiesen) werden.

 

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Danke für die Ergänzung.

Man sollte der Abbildung zur Fragestellung nicht blind trauen.

Möchtest du vielleicht gleich noch den Beweis für "keine weiteren gemeinsamen Punkte" anfügen?

Answer 2

Du berechnest ein Kreissegment, dann das Doppelte, dann minus den Kreis.

Ein Kreissegment hat eine Fläche von 14,14 cm², x  = 28,28 c², minus dann es Kreises von 12,57 cm² = 15,71 cm²

Hier ist ein Onlinerechner: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreissehnen.htm