Sei \(\sum _{ k= 1}^{ \infty }{ { a }_{ k } }\) eine konvergente Reihe und \(a_k\) nicht-negative Zahlen.
Zeigen Sie, dass die Reihe \(\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{2} }\) ebenfalls konvergiert.
Meine Lösung dazu:
Da obige Reihe konvergiert, ist \({(a_k)}_{k\in\mathbb{N}}\) eine Nullfolge. Man wähle \(n_e\) so, dass
$$ |a_k| \le 1 \quad\forall k > n_e $$
Dann gilt:
$$ a_k <1\quad \forall k > n_e \quad\Rightarrow \quad a_k^2<a_k\quad \forall k>n_e $$
Und man kann die zweite Reihe folgendermaßen abschätzen:
$$ 0\le \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ n_{ e } }{ { a }_{ k }^{ 2 } } +\sum _{ k=n_{ e }+1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le \sum _{ k=1 }^{ n_{ e } }{ { a }_{ k }^{ 2 } } +\sum _{ k=n_{ e }+1 }^{ \infty }{ { a }_{ k } } <\infty $$
Der zweite Summand konvergiert nach Voraussetzung und der erste ist endlich. Sind meine Gedanken soweit richtig?
Vielen Dank schon einmal im Voraus.
