Extremwertaufgabe: Eine gerade natürliche Zahl n zerlegen, dass die Summe der Quadrate der Summanden minimal wird.

Question

Hallo :). Ich bin es mal wieder. Ich bin zur Zeit bei Extremwertaufgaben und komme überhaupt nicht weiter.

Die Aufgabe:

Eine gerade natürliche Zahl n soll derart in zwei Summanden zerlegt werden, dass die
Summe der Quadrate der Summanden minimal wird.

1. Was soll ich hiermit anfangen? Soll dies nun in eine Formel umgeschrieben werden? ich denke mal schon.
2. Ich finde einfach keinen passenden Ansatz.

ich rätsel schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf die Lösung.
Könnt ihr mir helfen?

Comments

Ich bin jetzt kein Experte aber ich würde sagen, das wenn man die Hälften der Zahl quadriert und dann addiert kommt der kleinste Wert raus anhand eines Beispiels sieht man das denk ich gut: 10=3+7. 3^2+7^2=58. -> 10=4+6. 4^2+6^2=52. -> 10=5+5. -> 5^2+5^2=50 Ich würde n also in n=n/2+n/2 zerlegen. die Quadrate wären folglich: 2n^2 : 4 Aber das ist jzt nur eine Vermutung . Hoffe trotzdem ich könnte helfen.

Answer 1

Eine gerade natürliche Zahl n soll derart in zwei Summanden zerlegt werden, dass die
Summe der Quadrate der Summanden minimal wird.

n = x + (n-x)          Zerlegung in Summanden.

Summe ihrer Quadrate:

s(x) = x^2 + (n-x)^2         | Klammern auflösen
= x^2 + n^2 -2nx + x^2

= 2x^2 - 2nx + n^2          |nach oben geöffnete Parabel. Scheitelstelle ist Minimalstelle   

                               |ableiten    , (n gegeben und konstant)

s ' (x) = 4x - 2n          |Ableitung null setzen 
4x = 2n

x = n/2

n = n/2 + n/2 ist die gesuchte Zerlegung.

Comments

Hmm könntest du mir erklären wie genau der 2. Summand: (n-x) entstanden ist? Hat es mit dem "minimal" zu tun?

---

Nein. Löse die Klammer auf, dann siehst du, dass links und rechts dasselbe steht.

Die beiden Summanden zusammen müssen n geben.

Daher x+y= n -----> y = n-x ist der 2. Summand.

Somit
n = x + (n-x)            . Vergiss nun sofort wieder, dass wir (n-x) zwischendurch y genannt hatten.   

---

Achso Ich denke mal ich habe es verstanden.
Mit der Gleichung n = x + y kann man ja nichts anfangen aufgrund von 3 unbekannten.

Deshalb nach y umstellen und y fällt weg. Ok das ergibt alles Sinn. Vielen Dank :)

---

Bitte. Gern!
Das zwischenzeitliche y = n-x   wird manchmal Nebenbedingung genannt.

Bei solchen Extremalwertaufgaben muss man dafür sorgen, dass die Zielfunktion (hier die Summe der Quadrate) nur von einer Unbekannten und allenfalls noch von Konstanten abhängt. Weitere Unbekannte dort bringt man mit Nebenbedingungen weg.