Die Oberfläche soll minimal werden, also brauchst du eine Formel für die Oberfläche.
\(\mathcal{O}=M+G=\pi rs+\pi r^2\)
Als nächstes müssen wir s wegbekommen.
Es gilt \(s^2=r^2+h^2\), also \(s=\sqrt{r^2+h^2}\)
Damit bekommen wir \(\mathcal{O}(r,h)=\pi r \sqrt{r^2+h^2}+\pi r^2\)
Jetzt nutzen wir noch die Formel für das Volumen, um r oder h zu eliminieren.
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot h \Rightarrow r^2={\frac{3V}{\pi h}}\)
Einsetzen:
\(\mathcal{O}(h)=\pi \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} \sqrt{\frac{3V}{\pi h}+h^2}+\pi \frac{3V}{\pi h}\)
\(\mathcal{O}(h)=\pi \sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 h^2}+\frac{3Vh}{\pi}}+ \frac{3V}{h}\)
\(\mathcal{O}(h)=\pi \sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot h^{-2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h}+ {3V}{h^{-1}}\)
Äußere Ableitung mal innere Ableitung
\(\mathcal{O'}(h)=\frac{1}{2}\pi ({\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot h^{-2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h})^{-\frac{1}{2}}\cdot( {\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot(-2)\cdot h^{-3}+\frac{3V}{\pi}})- {3V}{h^{-2}}\)
\(\mathcal{O'}(h)= ({\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot h^{-2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h})^{-\frac{1}{2}}\cdot( {- \frac{9V^2}{\pi}\cdot h^{-3}+\frac{3V}{2}})- {3V}{h^{-2}}\)
\(\mathcal{O'}(h)= \dfrac{- \frac{9V^2}{\pi h^3}+\frac{3V}{2}}{\sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 h^2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h}}- \frac{3V}{h^{2}}\)
....
Nun habe ich Wolframalpha befragt:
\( \mathcal{O}'(h)=0 \Rightarrow h = 2 \sqrt[3]{\frac{3V}{\pi}}\approx1.96949 \cdot\sqrt[3]{V}\)
Angaben ohne Gewähr!
