Wie müssen die Zylindermaße r und h gewählt werden damit das Zylindervolumem V maximal wird?

Question

Aufgabe:

Der größte Zylinder in einem geraden Kegel

Ein gerader Kreiskegel hat den festen Radius R und die feste Höhe H. Im Kreiskegel soll ein Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h einbeschrieben stehen. Wie müssen die Zylindermaße r und h gewählt werden damit das Zylindervolumem V maximal wird?

Hilfen: Zylindervolumem: V=π x r^2 x h

Problem/Ansatz:

Leider finde ich keinen Ansatz, wie ich anfangen könnte bzw. weiß ich nicht wie man das rechnet.

Answer 1

Kegel mit Zylinder werden von der Spitze des Kegels aus senkrecht zur Grundfläche durchgeschnitten.

Die Schnittfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit einbeschriebenem Rechteck.

Verwende die Schnittfläche um eine Beziehung zwischen r und h als Gleichung auszudrücken. Das geht zum Beispiel mit Strahlensätzen.

Forme die Gleichung nach r oder h um und setze in die Formel für das Zylindervolumen ein.

Die Gleichung, die du dadurch bekommst kannst du als Funktionsgleichung auffassen. Bestimme den Hochpunkt dieser Funktion.

Answer 2

Zielfunktion: V(r)=π·r²·h

Nebenbedingung (Strahlensatz): \( \frac{h}{H} \)=\( \frac{R-r}{R} \) oder h=\( \frac{H(R-r)}{R} \).

Nebenbedingung in Zielfunktion eingesetzt: V(r)=\( \frac{H}{R} \)·π·r²·(R-r).

Lösungen von V'(r)=0 auf Maximum prüfen (H und R sind Konstante)