Wie müssen Höhe und Durchmesser der Dose gewählt werden, damit der Materialpreis minimal wird? (Extremwertaufgabe)

Question

Zylinder
Volumen: 500 Milliliter
Materialkosten Boden & Deckel: 30€ pro Quadratmeter
Materialkosten Seiten: 15€ pro Quadratmeter

Wie müssen Höhe und Durchmesser der Dose gewählt werden, damit der Materialpreis minimal wird? (Maße in cm)

Kann mir bitte jemand zeigen wie man zur vollständigen Zielfunktion kommt und ggf sagen was die gesuchten Werte letztlich sind? Alle meine Ansätze bis jetzt waren ziellos. Ich weiß z.B. nicht sicher wie man das mit den verschiedenen Maßeinheiten und den Kostenparametern handhaben soll. Haben gerade erst das Thema in der Vorlesung bekommen. Danke

Answer 1

Zylinder mit r und h.

Zielfunktion ist die Materialkostenfunktion.

Kosten für Boden & Deckel: 30€ pro Quadratmeter

Jeder hat die Fläche (in cm^2)  r^2*pi , also

Kosten von 2*r^2 * pi * 0,003   € .

Materialkosten Seiten: 15€ pro Quadratmeter

"Seiten" entspricht dem Mantel des Zyl.

also Fläche 2*r*pi*h

also Kosten von   2*r*pi*h*0,0015  €

Zusammen : (in € )  r,h in cm.

K(r,h) = 2*r^2 * pi * 0,003  +2*r*pi*h*0,0015

Nebenbedingung ( Volumen: 500 Milliliter = 500 cm^3 )

==>    r^2 * pi * h = 500

==>        \(  h=  \frac{500}{r^2 \cdot \pi }   \)

Bei der Zielfunktion einsetzen :

\( K(r) =  2r^2 \cdot \pi \cdot 0.003 + 2r \cdot \pi \cdot 0.0015 \cdot   \frac{500}{r^2 \cdot \pi }    \)

\( = 0.01855r^2 + \frac{1.5}{r }    \)

Ich bekomme das Optimum bei r=3,4 und h=16,1.

Answer 2

Hallo,

Haben gerade erst das Thema in der Vorlesung bekommen.

'Vorlesung' deutet auf Fachhochschule oder Uni.

Ich weiß z.B. nicht sicher wie man das mit den verschiedenen Maßeinheiten und den Kostenparametern handhaben soll.

Ok!?

Der Prefix 'milli' steht für \(1/1000\). Ein Liter ist ein Kubikdezimeter, ein Dezimeter sind \(10\,\text{cm}\), also sind$$500 \,\text{ml} = 500 \cdot \frac1{1000} \left(\text{dm}\right)^3 = 500 \cdot \frac1{1000} \left(10\,\text{cm}\right)^3 = 500\,\text{cm}^3$$Ein Quadratmeter sind \(\left(100\,\text{cm}\right)^2 = 10^4\,\text{cm}^2\). Also sind die Materialpreise$$P_{BD} = 30\frac{€}{\text m^2} = 30\frac{€}{10^4\,\text {cm}^2} = 0,3\frac{€/100}{\text{cm}^2} = 0,3\frac{\text c€}{\text{cm}^2} \\ P_{S} = 15\frac{€}{\text m^2} = 0,15\frac{\text c€}{\text{cm}^2}$$\(\text c€\) sind 'centi-Euro' also Cent.

Kann mir bitte jemand zeigen wie man zur vollständigen Zielfunktion kommt

indem man die Kosten \(K\) für alle Oberflächen \(A_{BD}\) (Boden und Deckel) und \(A_S\) (Seiten) zusammen rechnet. Oben sind jetzt alle Größen in \(\text{cm}\) bzw. \(\text c€/\text{cm}^2\) gegeben. daher lasse ich die Einheiten weg. Zur Übung kannst Du das mal nachrechnen und alle Einheiten einsetzen.$$K = K_{BD} + K_{S} = A_{BD} \cdot P_{BD} + A_{S} \cdot P_{S} \\ \phantom{K}= 2r^2\pi \cdot 0,3 + 2\pi rh \cdot 0,15 \\ V= 500 = r^2\pi h \implies h = \frac{500}{r^2 \pi} $$Kommst Du zurecht mit Einsetzen und Ableiten? Das Ergebnis ist$$r = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}}\,\text{cm} \approx 3,41\,\text{cm}, \quad h = \frac{20}{\sqrt[3]{\pi}}\,\text{cm} \approx 13,66\,\text{cm}, \quad K_{\text{opt}} \approx 65,9\,\text c€$$

Gruß Werner