Extremwertaufgabe: Länge und Breite des Tanks für den Fall, dass der Materialaufwand minimal wird?

Question

Aufgabe:

Ein Reservetank eines Notstromaggregates soll ein Fassungsvermögen von V=7,2dm³ erhalten. Die Höhe des Tanks ist mit 8cm fest gelegt. Die Seitenwände des Tanks werden doppelte Wandstärke haben.

Bestimmen Sie Länge und Breite des Tanks für den Fall, dass der Materialaufwand minimal wird!

Problem/Ansatz:

Was mich bei dieser Aufgabe verunsichert, ist die doppelte Wandstärke... das ändert doch am Ende nichts an den Ergebnissen von Länge und Breite?!? Oder habe ich da gerade einen Denkfehler....

Danke schon mal für die Hilfe ;-)

Nachtrag: Ich gehe davon aus, dass es ein Quader sein soll

Comments

Welche Form soll der Tank haben?

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Ich gehe davon aus, dass es ein Quader sein soll

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Sind Tanks nicht normalerweise zylinderförmig?

Answer 1

V= a*b*0,8= 7,2

b=9/a

O = 2ab+2*2*(0,8a+0,8b) → max

O(a)= 18+4*(0,8a+7,2/a)

O(a)= 18+3,2a+28,8/a

Berechne:

O'(a) = 0

Comments

Danke schon mal, aber was mach ich bei der Ableitung mit dem a im Nenner?!?

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1/a wird abgeleitet zu -1/a^2

1/a = a^-1 → -1*a^-2 = -1/a^2

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Ok, kommt für a = 3 raus?

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Kontrolle mit Wolframalpha: Bei a = 3 liegt ein lokales Minimum und bei (geometrisch unmöglichen) a = -3 ein lokales Maximum.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=18%2B3.2a%2B28.8%2Fa

Answer 2

Länge a, Breite b und Höhe c.

Der Materialaufwand für einen Quader ist proportional zur Oberfläche 2(ab + ac + bc).

Da hier aber die Seitenwände den doppelten Materialaufwand haben, ist der Materialaufwand proportional zu 2(ab + 2ac + 2bc). Also ist

        M = 2(ab + 2ac + 2bc)

die Hauptbedingung.

Answer 3

Das soll wohl nur verdeutlichen, wie wichtig es ist, den Materialaufwand zu minimieren.

Falsch: Beim nochmaligen Nachdenken:

Nur die Seitenwände sollen doppelt sein. Du musst also die Seitenwände doppelt zählen.

Answer 4

V = 7.2 dm^3
h = 8 cm
V = a * b * h
a * b = 9 cm^2

Bei JEDER Lösung hat a * b stets denselben Betrag
und kann deshalb entfallen
Das Ganze reduziert sich auf
a * b = 9
Umfang
u = 2 ( a + b)
Berechnet
b = 9/a
u = 2 * ( a + 9/a )
u ´ = 2 * ( 1 - 9/a^2 )
Extremwerte
1 - 9/a^2 = 0
9/a^2 = 1
a^2 = 9
a = ± 3
a = -3 entfällt.

Merken :
Bei einem Rechteck ist bei gleicher Fläche der kleinste Umfang bei a = b : das Quadrat.