Trigonometrie: Viereck in flächengleiches Parallelogramm verwandeln. Suche a' und Höhen'.

Question

 

Ich hab hier dieses Beispiel:

Von einem allgemeinen Viereck ABCD sind folgende Angaben festgelegt:

a = AB= 61,3 m

d = DA= 94,8 m

∠DAB =α =104,28°;

∠ABC = β =118,39°;

∠ADC =δ = 83,77°

Es ist so in ein
flächengleiches Parallelogramm zu verwandeln, dass die Länge der Seite d = DA und der Winkel α
unverändert bleiben. Berechnen Sie die Länge der zweiten Seite und die Höhen des Parallelogramms.

 

Ich habe leider keine Ahnung wie ich das machen soll.. Die Lösung lautet:
A = 10 368,45; a´ ≈ 112,9 m; ha´ ≈ 91,9 m; hd ≈109,4 m

Kann mir das jemand erklären? !!!

Comments

Ein Hinweis für den Anfang:

Eine Verwandlung ist Fachbegriff für die Konstruktion eines flächengleichen Objekts.
Du kannst hier die sog. Scherung verwenden. Wähle BD als Fixgerade und verschiebe C auf einer Parallelen zu BD so dass ein Parallelogramm entsteht.

Beginne somit mit der Konstruktion des Vierecks. Dann machst du die Scherung. Nun berechnest du die gesuchten Strecken schrittweise.

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Zunächst würde man sich eine Skizze machen:

Dann versucht man alles über das jetzige 4-Eck in Erfahrung zu bringen. Man teilt es dazu in 2 Dreiecke.

Die Fläche des einen Dreiecks könnte man so schon berechnen für das andere sind noch ein paar Angaben nötig. Die kann man sich schrittweise errechnen.

Probier also zunächst mal alle Seiten des jetzigen 4-Ecks zu berechnen. 

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Die Frage wäre ob es zu verwandeln ist über Scherung oder rechnerisch zu ermitteln ist. Die Lösungsergebnisse scheinen ja eher auf eine rechnerische Lösung zu deuten.

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@Mathecoach: Ich kann leider deine Skizze nicht so klein ins Zeichnungsprogramm importieren, um die Konstruktion darüber zu zeichnen. Danach sieht man dann, was zu rechnen ist.

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Hallo Lu. Also was du machen willst habe ich verstanden. Durch verschiebung von C ändert sich die Fläche von BCD ja nicht.
Aber man könnte ja auch vorher schon alle Sachen berechnen und nicht erst nach der Scherung?

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@Mathecoach: klar. Ich habe hier lieber eine Konstruktion. Das erleichtert die Rechnung.

Schluss der Skizze: (Die grünen Linien parallel zu den gegebenen denken)

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wow, da  komm ich jetzt ja mal gar nicht mit :O

Es ist rechnerisch zu ermitteln, "Scherung" haben wir leider nie durchgenommen..

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Scherung beruht darauf, dass alle Dreiecke mit der gleichen Basis die gleiche Fläche haben, wenn auch ihre Höhe gleich ist. Daher die Parallele durch die 'Spitze' des Dreiecks.

Vgl auch https://de.wikipedia.org/wiki/Scherung_(Geometrie)

Answer 1

Meine 3. Skizze zu dem, was noch zu rechnen wäre, wenn man das Viereck ABCD mal ausgerechnet hat.

Die 2. Seite kannst man über die erste ausrechnen, da b*h_a = a*h_b   

b = a*h_b / h_a

Comments

Wie komme ich denn rechnerisch auf ha und hb?

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Habe ich dir in der Skizze nicht ganz richtig hingeschrieben (gelb)

Korrektur:

ha = |d*sin ALPHA|       (beachte das gelbe rechtwinklige Dreieck links unten).

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ok :)
und bei hb= 0,5 * Abstand C von AD


Verstehe ich nicht was mit "Abstand C von AD gemeint ist. Da denke ich eher an Vektoren?

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Wenn du an Vektoren denkst, ist das für die Rechnung gar nicht schlecht. Du müsstest einfach noch die Koordinatengleichung für AD aufstellen und dann die HNF mit C* benutzen.

Auch hier erst eine Korrektur zum Text in der Skizze

hb= 0,5 * Abstand C* von AD

Die Höhe des Dreiecks ADC*, die durch C* geht.