Rekonstruktion von Funktionen. Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse bei -1 und die y-Achse bei 2.

Question

Ich brauche ganz Hilfe bei der Rekonstruktion von Funktionen!

Es wäre super wenn mir jemand das Erklären/Lösen könnte!:)

Aufgabenstellung:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-achse bei -1 und die y-Achse bei 2. Bei 2 berührt er die x-Achse. Ermittle den Funktiontrem.

Vielen Dank schonmal:)

Answer 1

Ich brauche ganz Hilfe bei der Rekonstruktion von Funktionen!

Ok, kein Problem! Die Angaben aus dem Steckbrief lassen sich in Leserichtung unmittelbar in den Ansatz übernehmen:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse bei -1 und die y-Achse bei 2. Bei 2 berührt er die x-Achse. Ermittle den Funktionterm!

$$ y = \left(x+1\right)\cdot \left(x-2\right)^2 \cdot \frac 12$$Damit ist die Funktion aber schon vollständig beschrieben und wir sind fertig.

Comments

Das ist schonmal super! Leider fehlt mir dazu noch der Lösungsweg:(

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-achse bei -1 [Faktor (x+1) ] und die y-Achse bei 2. Bei 2 berührt er die x-Achse Faktor (x-2)^2. Ermittle den Funktiontrem.

Ansatz: y = a (x+1)(x-2)^2     hier ist schon x^3 drinn.
Daher ist a nur noch eine Konstante.
Nun noch f(0) = 2 ausnützen.      
 2 = a (0+1)(0-2)^2     ;
2 = a*1*4 ==>
1/2 = a.
 Daher: y = 1/2 * (x+1)(x-2)^2
Skizze: ~plot~ 1/2 * (x+1)(x-2)^2 ~plot~https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+*+(x%2B1)(x-2)%5E2

Comments

Das ist schonmal super aber wie hatten das in der sSchule etwas anders gemacht, nämlich mit den Bedingungen und diese direkt in die Funktion 3. grades eingesetzt. ich kann diesen Lösungsweg nicht ganz nachvollziehen.

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Dann schreib mal die Bedingungen hin, die du aus der Schule kennst.

Und mach dann so weit, bis du steckenbleibst. Schreibe das als Kommentar, dann schaut sicher gern nochmals jemand darüber.

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Es gibt ungefähr 4 Bedingungen die man aus dieser Aufgabenstellung ablesen kann. Dies kann ich aber nicht so gut und deswegen habe ich nicht wirklich Ahnung wie das gehen soll.

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Hier die Bedingungen, die du vielleicht erwartet hast: 

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-achse bei -1 

f(-1) = 0

und die y-Achse bei 2. 

f(0) = 2 

Bei 2 berührt er die x-Achse. 

f(2) = 0

f ' (2) = 0 

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Oh ja vielen dank das macht mehr sinn, als das was ich hatte. Eine Freundin von mir meinte das eine Bedingung auch f ' (0) = (0) sein könnte aber das macht doch keine Sinn oder?

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 f ' (0) = (0) sein könnte aber das macht doch keine Sinn oder?

f ' (0) = 0 ist wohl zufällig richtig (vgl. Graph). Aber aus dem Text kannst du diese Bedingung nicht entnehmen.

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Okay, aber f (2) = 2 ist auch richtig oder?

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Nein. Der Graph berührt die x-Achse bei x=2.

D.h. der Punkt P(2|0) liegt auf dem Graphen.

Also f(2) = 0.

Und dann muss die Steigung an der Stelle x=2 auch 0 sein.

Also f ' (2) = 0.

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Bitte. Gern geschehen.

Nun kannst du das Auflösen von Gleichungssystemen üben.

Versuche aber auch meine ursprüngliche Lösung (mit einer Unbekannten) zu verstehen. Das geht an einer Prüfung viel schneller, als wenn du 4 Unbekannte hast.

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ich habe es geschafft! Im Endeffekt war es gar nicht so schwer:)

Answer 3

Hier einmal ein paar Schritte zur Lösung